[論文レビュー] Boundary singularities of semilinear elliptic equations with Leray-Hardy potential

Huyuan Chen, Laurent Véron|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\Omega \subset \mathbb{R}^N_+$ における有界領域で、$0 \in \partial\Omega$ を満たす境界特異点を持つ半線形楕円型方程式 $\Delta u + \frac{\mu}{|x|^2}u + g(u) = \nu$ の解の存在および一意性を調査する。ここで $\mu \geq -\frac{N^2}{4}$、$g$ は連続かつ非減少関数、$\nu$ および $\lambda$ はRadon測度である。主な貢献は、$g$ がべき関数の場合に、解の可解性に関する必要十分条件を提供する容量に基づく枠組みを構築したことである。特に、測度 $\nu$ が特異点 $0$ に集中しているかどうかに応じた挙動の違いを明確にしている。

ABSTRACT

We study existence and uniqueness of solutions of (E 1) --$Δ$u + $μ$ |x| ^{-2} u + g(u) = $ν$ in $Ω$, u = $λ$ on $\partial$$Ω$, where $Ω$ $\subset$ R N + is a bounded smooth domain such that 0 $\in$ $\partial$$Ω$, $μ$ $\ge$ -- N 2 4 is a constant, g a continuous nondecreasing function satisfying some integral growth condition and $ν$ and $λ$ two Radon measures respectively in $Ω$ and on $\partial$$Ω$. We show that the situation differs considerably according the measure is concentrated at 0 or not. When g is a power we introduce a capacity framework which provides necessary and sufficient conditions for the solvability of problem (E 1).

研究の動機と目的

• 領域の境界上に特異点を有する半線形楕円型方程式に対して、Leray-Hardyポテンシャルを伴う解の存在および一意性を確立すること。
• 測度 $\nu$ が特異点 $0 \in \partial\Omega$ に集中しているかどうかに応じて、解の性質がどのように変化するかを分析すること。
• べき関数型非線形項 $g(u) = |u|^{p-1}u$ を対象とし、可解性に関する必要十分条件を提供する容量枠組みを構築すること。
• スペクトルパrameter $\mu$ および指数 $p$ を用いて、境界特異点 $0$ 近傍における解の漸近的挙動を特定すること。
• 従来の内部特異点に関する結果を境界の場合に拡張し、特に [15] および [21] の結果を境界設定に一般化すること。

提案手法

• 方程式 $-\Delta u + \frac{\mu}{|x|^2}u + g(u) = \nu$ の弱形式を $\Omega$ において用い、境界上では $u = \lambda$ とする。ここで $\nu$ および $\lambda$ はRadon測度である。
• Kato型不等式およびエネルギー推定を用いて、$x = 0$ における境界特異点近傍での解の挙動を分析する。
• Hardyポテンシャルに適したBessel容量に基づく、境界状況 $0 \in \partial\Omega$ 専用の容量的枠組みを導入する。
• Emden-Fowler変換 $v(t, \sigma) = r^{-\frac{2}{p-1}} u(r, \sigma)$ および $t = \ln r$ を用い、球面上での時間に依存するODEに還元することで、スペクトル解析を可能にする。
• 解析関数の理論およびSturmの議論を用いて、解の離散的構造と $0$ 近傍における爆発速度を研究する。
• 比較原理および上界解法を用いて解の境界を評価し、特に $p > p^*_\mu$ のとき $x \to 0$ で $u = o(\phi_\mu)$ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 方程式 $-\Delta u + \frac{\mu}{|x|^2}u + g(u) = \nu$ が $\Omega$ において定義され、$\partial\Omega$ 上で $u = \lambda$ を満たすとき、$0 \in \partial\Omega$ の場合に解が存在する条件は何か？
• RQ2 測度 $\nu$ が境界特異点 $0$ に集中しているかどうかに依存して、問題の可解性はどのように変化するか？
• RQ3 べき関数型非線形項 $g(u) = |u|^{p-1}u$ を有する場合、解の $x = 0$ 近傍における正確な漸近的挙動は何か？
• RQ4 境界特異点を持つ場合のサブクリティカルおよびスーパークリティカル挙動を分ける臨界指数 $p^*_\mu$ は何か？
• RQ5 可解性が保証される測度 $\nu$ のクラスを特徴づける容量論的枠組みを構築できるか？

主な発見

• $g(u) = |u|^{p-1}u$ の場合、問題は測度 $\nu$ が $\mu$、$N$、$p$ に依存する特定のBessel容量に属する場合に限り解を有する。これは必要十分条件を提供する。
• $p > p^*_\mu$ のとき、$x \to 0$ で $u(x) = o(\phi_\mu(x))$ が成り立つ。ここで $\phi_\mu(x) = |x|^{-\frac{N-2}{2} + \sqrt{\mu + \frac{N^2}{4}}}$ は方程式 $\mathcal{L}_\mu u = 0$ の基底解である。
• $p = p^*_\mu$ かつ $\mu = \mu_1 = -\frac{N^2}{4}$ の場合、解は still $0$ 近傍で $u = o(\phi\_\mu)$ を満たし、解は一意的かつ弱解である。
• $p = p^*_\mu$ かつ $\mu > \mu_1$ の場合、$\mathcal{E}_v \subset \{0\}$ が成り立つため、$u$ は $\phi_\mu$ に対して漸近的にゼロである。
• 球面上の削減方程式の解の集合は離散的であり、その集合の単一要素への収束は、漸近的プロファイルの一意性を示唆する。
• $p = 3$ かつ $N + 4\sqrt{\mu - \mu_1} > 0$ のとき、あるスペクトル条件を満たす限り、解が存在する唯一の奇数次整数指数は $p = 3$ である。