[論文レビュー] Bounded Approximation Property for Sobolev spaces on simply-connected planar domains

Maria Roginskaya, Michał Wojciechowski|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の有界で単純連結な平面領域 $Ω$ におけるソボレフ空間 $W^{1}_{1}(Ω)$ が、境界の正則性にかかわらず有界近似性質（BAP）を有することを確立する。証明の根幹は、$Ω$ を $η$-基本領域と孤立領域に分割する、新しい幾何的分解にあり、これにより有限ランク作用素を用いた一様近似が可能になる。

ABSTRACT

We show that Sobolev space $W^1_1(Ω)$ of any planar one-connected domain $Ω$ has the Bounded Approximation property. The result holds independently from the properties of the boundary of $Ω$. The prove is based on a new decomposition of a planar domain.

研究の動機と目的

• 有界で単純連結な平面領域上での $W^{1}_{1}(\Omega)$ の有界近似性質（BAP）の確立。
• 従来のソボレフ空間の BAP に関する結果で要請されていた境界の正則性に関する前提を排除すること。
• $\eta$-基本領域と孤立領域に分割する平面領域の幾何的分解を構築し、一様近似を可能にする。
• 分解の成分の基数を $\varepsilon$ の関数として用いて、領域の形状の「悪さ」を定量化する枠組みを提供すること。

提案手法

• $\eta$-基本領域の概念を導入する。これは、区間および円弧から成る境界を持つ平面集合であり、曲線長に対して一様なホルダー型の制御が満たされる。
• 分割定理を証明する。任意の有界で単純連結な平面領域 $\Omega$ は、二つの族 $\mathcal{A}_{\varepsilon}$（小さな $\eta$-基本領域）と $\mathcal{B}_{\varepsilon}$（孤立した小さな領域）に分解可能であり、直径、重複、境界からの距離について一様な制御が可能である。
• $\eta$-基本領域上でガリャルドのトレース不等式とポンティャグリン不等式を用いて、関数およびその勾配のノルムを制御する。
• 分割要素から構成された有限ランク射影作用素を用いて、$W^{1}_{1}(\Omega)$ 内の関数を、一様に有界な作用素ノルムを持つように近似する。
• 分解が位相的および距離的制約を満たすように保証する：互いに交わらないこと、有界な重複、$\mathcal{B}_{\varepsilon}$ が $\Omega$ から一様に離れていること。
• 直交射影と局所バイリプシッツ性質を用いて、大規模な領域を $M$-基本成分に再帰的に分割し、直径および境界の正則性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界 $\partial\Omega$ が不規則であっても、任意の有界で単純連結な平面領域 $\Omega$ に対して $W^{1}_{1}(\Omega)$ は有界近似性質を有するか？
• RQ2 $\Omega$ に対して、直径、重複、境界からの距離について一様な制御が可能な $\eta$-基本領域および孤立領域への幾何的分解を構築できるか？
• RQ3 分解パラメータ（$c$, $C$, $\eta$, $k$）と領域 $\Omega$ の幾何的複雑さとの間の定量的関係は何か？
• RQ4 この分解が、$W^{1}_{1}(\Omega)$ 内の関数を、一様に有界なノルムを持つ有限ランク作用素で近似する方法をどのように可能にするか？
• RQ5 この分解を用いて、$|\mathcal{A}_{\varepsilon}|$ および $|\mathcal{B}_{\varepsilon}|$ の $\varepsilon$ に関する成長に基づいて、領域の形状の「悪さ」の測度を定義できるか？

主な発見

• $W^{1}_{1}(\Omega)$ は、境界の正則性にかかわらず、任意の有界で単純連結な平面領域 $\Omega$ に対して有界近似性質を有する。
• 自然数 $k$ および正の定数 $c, C, \eta > 0$ が存在し、$\Omega$ は一様な幾何的および位相的制約を満たす族 $\mathcal{A}_{\varepsilon}$ と $\mathcal{B}_{\varepsilon}$ に分解可能である。
• $\mathcal{A}_{\varepsilon}$ の各集合は $\eta$-基本領域であり、直径が $[c\varepsilon, C\varepsilon]$ の範囲にあり、重複は最大 $k$ 個の近隣に制限される。
• $\mathcal{B}_{\varepsilon}$ の各集合は他の $\mathcal{A}_{\varepsilon}$ の集合から孤立しており、$\mathbb{R}^2 \setminus \Omega$ からの $\varepsilon$-近傍内にある。
• 分解により、$\bigcup \overline{A} \cup \bigcup \overline{B} \supset \Omega$ が保証され、領域全体がカバーされる。
• この構成により、$\varepsilon$ および $W^{1}_{1}(\Omega)$ の有限部分集合 $S$ に対して、一様に有界な作用素ノルムを持つ有限ランク作用素による関数の一様近似が可能になる。