[論文レビュー] Boundedness of Operators in Bilateral Grand Bebesgue Spaces with Exact and Weakly Exact Constant Calculation

E. Ostrovsky L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 17被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、フーリエ変換、最大作用素、埋め込み作用素などの作用素について、二重グランドルベーグ空間（GLS）における正確かつ弱く正確な境界を確立し、非等方的GLSを導入し、ボイドの多次元指標を計算する。重み付きフーリエ不等式の鋭鋭定数を導出し、明示的なノルム推定を伴う補間定理を提示し、正確な例と漸近的解析によって検証する。

ABSTRACT

In this article we investigate an action of some operators (not necessary to be linear or sublinear) in the so-called (Bilateral) Grand Lebesgue Spaces (GLS), in particular, double weight Fourier operators, maximal operators, imbedding operators etc. We intend to calculate an exact or at least weak exact values for correspondent imbedding constant. We obtain also interpolation theorems for GLS spaces.We construct several examples to show the exactness of offered estimations. In two last sections we introduce anisotropic Grand Lebesgue Spaces, obtain some estimates for Fourier two-weight inequalities and calculate Boyd's multidimensional indices for this spaces.

研究の動機と目的

• 非線形および準線形作用素（フーリエ、最大、埋め込み作用素を含む）について、二重グランドルベーグ空間（GLS）における正確または弱く正確な境界を確立すること。
• 特に多次元および非等方的設定において、GLSにおける重み付きフーリエ変換不等式の鋭鋭定数を計算すること。
• 非等方的グランドルベーグ空間を導入し、そのボイドの多次元指標を計算し、補間および作用素の有界性において重要な役割を果たすことを分析すること。
• 明示的なノルム推定を伴うGLSの補間定理を導出し、構築された例によって境界の鋭鋭性を検証すること。
• 古典的不等式（例：ハーディー＝リトルウッド、ソボレフ、ヒルベルト）を、正確または漸近的に正確な定数を伴うGLS枠組みに一般化すること。

提案手法

• 作用素ノルムが $ |Uf|_{q(p)} \leq K(p) |f|_p $ を満たすモーメント不等式条件（A）を用いる。ここで $ p \in (a,b) $ であり、$ K(p) $ は作用素ノルム $ |U|_{L_p \to L_{q(p)}} $ として定義される。
• 再配分不変（r.i.）空間理論および重み付きノルム不等式、特にミュケンホプトの理論を用いて、フーリエおよび積分作用素の境界を導出する。
• 多変数の拡大作用素 $ \Delta_{s,t}[f](x,y) = f(x/s, y/t) $ を用いて非等方的GLSを導入し、ボイドの指標を $ \overline{\alpha}(G\psi_D) = 1/a $、$ \underline{\alpha}(G\psi_D) = 1/b $ などとして定義する。
• 条件 $ \frac{\beta_j - \alpha_j}{m_j} = 1 - \frac{1}{p_j} - \frac{1}{q_j} $ を用いて二重重み付きフーリエ不等式の鋭鋭推定を導出し、定数 $ C_5 \leq K \leq C_6 $ を得る。
• GLSにおける補間理論を適用し、$ p > p_0 $ に対して $ K(p) \asymp \left[ \frac{p}{p - p_0} \right]^{\max(1, 1/p_0 + 1/q_0)} $ を示す。ここで $ p_0 = (n + \mu)/(n - \beta) $ である。
• ノルム同値性およびモーメント不等式を用いて鋭鋭性を検証し、等号またはタイトな境界が達成される例を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重グランドルベーグ空間におけるフーリエ作用素、最大作用素、埋め込み作用素の作用素ノルム $ K(p) $ の正確または弱く正確な値は何か？
• RQ2 非等方的グランドルベーグ空間におけるボイドの多次元指標はどのように計算され、作用素の有界性において果たす役割は何か？
• RQ3 GLSにおける二重重み付きフーリエ不等式の鋭鋭定数は何か？パラメータ $ \alpha, \beta, \mu, \lambda $ にどのように依存するか？
• RQ4 GLSにおける補間定理は、作用素ノルムの明示的かつ定量的な境界を伴って確立可能か？
• RQ5 不等式 $ \left| |x|^{-\alpha} F[f] \right|_{q,-\lambda} \leq K_{\lambda,\mu}(p) \left| |x|^\beta f \right|_{p,\mu} $ が鋭い漸近的挙動を示すための条件は何か？

主な発見

• フーリエ変換に関して、鋭鋭定数は $ A(p) = \left[ \frac{p^{1/p}}{p_1^{1/p_1}} \right]^{n/2} $ であり、$ p_1 = p/(p-1) $ であり、$ p \in (1,2] $ で有効である。
• ヒルベルト変換に関して、鋭鋭定数は $ 1 < p \leq 2 $ に対して $ \Lambda(p) = \tan(\pi/(2p)) $、$ 2 < p < \infty $ に対して $ \cot(\pi/(2p)) $ であり、ピコリデスによって証明されている。
• リーズ作用素に関して、鋭鋭定数は $ 0 < s < n $、$ 1 < p < n/s $、$ q = \frac{pn}{n - sp} $ に対して $ K_S(p) = \pi^{s/2} \cdot \frac{\Gamma((n-s)/2)}{\Gamma((n+s)/2)} \cdot \left\{ \frac{\Gamma(s)}{\Gamma(n/2)} \right\}^{s/n} $ である。
• 非等方的GLSにおける二重重み付きフーリエ不等式の鋭鋭性条件は $ \frac{\beta_j - \alpha_j}{m_j} = 1 - \frac{1}{p_j} - \frac{1}{q_j} $ であり、$ C_5 \leq K \leq C_6 $ の境界が得られる。ここで $ C_5, C_6 $ は $ \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{m} $ に依存する。
• 非等方的GLSのボイドの指標は、拡大作用素の挙動に基づき $ \overline{\alpha} = 1/a $、$ \underline{\alpha} = 1/b $、$ \overline{\beta} = 1/c $、$ \underline{\beta} = 1/d $ として計算される。
• 重み付き $ L_p $ ノルム $ |g|_{p,\mu} = \left[ \int |g(x)|^p |x|^\mu dx \right]^{1/p} $ に対して、作用素ノルムは $ C_1 [p/(p - p_0)]^{1/q_0 + 1/p_0} \leq K_{\lambda,\mu}(p) \leq C_2 [p/(p - p_0)]^{\max(1, 1/q_0 + 1/p_0)} $ を満たす。ここで $ p_0 = (n + \mu)/(n - \beta) $ である。