[論文レビュー] Relations between exponential tails, moments and moment generating functions for random variables and vectors

Yuriy Kozachenko, E. Ostrovsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2017

Probability and Risk Models参考文献 23被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、実数およびベクトル値確率変数について、指数的尾部減衰、モーメント（グランド・ルベーグ空間ノルムを介して）、およびモーメント生成関数の間で、非漸近的かつ双方向の、定数倍要因を除いて正確な関係を確立する。Young-Fenchel変換と凸解析を用いることで、指数的尾部境界、モーメント成長率、MGFの挙動が、乗法的定数の違いを除いて互いに同値であることを証明し、古典的結果を多次元的かつ非漸近的設定に拡張し、ノルムの精密推定を伴う。

ABSTRACT

We offer in this paper the non-asymptotical pairwise bilateral exact up to multiplicative constants interrelations between exponential decreasing tail behavior, moments (Grand Lebesgue Spaces) norm and moment generating functions norm for random variables and vectors (r.v.).

研究の動機と目的

• 確率変数およびベクトルについて、指数的尾部挙動、モーメント成長（グランド・ルベーグ空間を介して）、およびモーメント生成関数ノルムの間で、精密で非漸近的かつ双方向の関係を確立すること。
• 関数的ノルムと凸双対性を用いて、古典的なサブ・ガウス的およびサブ・指数的尾部に関する結果を、より広い分布クラスへと拡張すること。
• Young-Fenchel変換と凸解析を用いて、尾部減衰、モーメント成長、MGF挙動の間で、乗法的定数の違いを除いて正確な同値性を確立すること。
• 下にあるモーメント生成関数および尾部挙動に関する最小限の仮定のもとで、ベクトル値確率変数のためのノルムの鋭い推定を導出すること。

提案手法

• モーメント成長率を特徴付けるために、$||f||_{G(\rho)} = \sup_{p \in [1,b)} \frac{|f|_p}{\psi(p)}$ で定義されるグランド・ルベーグ空間（GLS）を用いる。
• モーメント生成関数と尾部挙動の関係を求めるために、Young-Fenchel変換 $\phi^*(u) = \sup_\lambda (\lambda u - \phi(\lambda))$ を適用する。
• Fenchel-Moraux定理 ($\phi^{**} = \phi$) とYoungの不等式を用いて、モーメントと尾部の間の双対的推定を導出する。
• 部分積分とLaplace法を用いて、ヘッセ行列の固有値の下界を用い、多次元モーメント生成関数のモーメントの上限を導出する。
• 変換 $Z(y) = \zeta(e^y)$ を用いて、多次元的尾部推定を共役関数 $Z^*$ に関する推定に変換する。
• 鞍点近似とガウス型の尾部境界を用いて、モーメント成長から指数的減衰率を導出するとともに、逆にそれらを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非漸近的設定において、指数的尾部減衰、モーメント成長、およびモーメント生成関数の挙動を、乗法的定数の違いを除いて正確にどのように関連付けることができるか？
• RQ2 ベクトル値確率変数について、グランド・ルベーグ空間ノルムと尾部またはMGFノルムの間の正確な同値性は何か？
• RQ3 モーメント成長率 $|\xi|_p \leq C \cdot |p| \cdot e^{-\nu(p)/p}$ が、対応する尾部境界 $U_\xi(\vec{y}) \leq \exp(-\nu^*(\ln(\vec{y}/C_2)))$ を意味するのはどのような条件下か？
• RQ4 非対称的または非径対称的な分布をもつ多次元的確率ベクトルに対しても、MGF、モーメント、尾部挙動の間の同値性を拡張できるか？

主な発見

• 確率ベクトル $\vec{\xi}$ に対して、$\nu(p)$ が凸的かつ正則的であるという条件下で、モーメント成長 $|\xi|_p \leq C_3 \exp(Z^*(p)/p)$ と尾部境界 $U_\xi(\vec{y}) \leq \exp(-\nu^*(\ln(\vec{y}/C_2)))$ が、乗法的定数の違いを除いて同値であることを本稿は確立する。
• グランド・ルベーグ空間ノルム $||\xi||_{G(\psi)}$ が有限であることは、$\psi(p) = |p| \cdot e^{-\nu(p)/p}$ であるとき、$\vec{y} \geq C_2 \vec{e}$ に対して尾部が $U_\xi(\vec{y}) \leq \exp(-\nu^*(\ln(\vec{y}/C_2)))$ を満たすことに同値であることを証明する。
• 多次元的確率ベクトルに対して、MGFが $\mathbb{E}\exp(\lambda \cdot \xi) \leq \exp(C_1 |\lambda|^m)$ を満たす（$|\lambda| \geq 1$）ならば、$\min_j |x_j| \geq 1$ のとき、尾部は $U_\xi(x) \leq \exp(-C_2 |x|^{m/(m-1)})$ に減衰する。
• 本稿は、漸近的近似を一切用いず、凸双対性と鞍点解析のみを用いることで、モーメント、尾部、MGFの挙動の間の同値性が成立することを示す。
• ヘッセ行列の固有値の下界とガウス近似を用いて導出された、多次元Laplace変換積分の鋭い推定 $J(p) \leq C_7(d,Z)^p \exp(Z^*(p))$ を提供する。
• 本稿の結果は、[39]–[41] の先行研究よりも厳密に強いことが示され、漸近的またはモーメントマッチングの仮定を一切必要とせず、一般のベクトル値確率変数に適用可能である。