[論文レビュー] Bounding $\chi$ by a fraction of $\Delta$ for graphs without large cliques

Marthe Bonamy, Tom Kelly+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、大きなクリークを含まないグラフに対して、貪欲な彩色境界に対する線形改善を確立する。最大次数∆でサイズωのクリークを含まないグラフに対して、リスト彩色数χℓ(G)がO(∆ / √(ln ω / ln ∆))であることを証明する。この結果は、各頂点の利用可能な色の数がその次数および近傍におけるクリーク構造に依存する局所的彩色条件を通じて得られ、Johansson よりも強い先行の境界を統一・強化し、特に∆が大きい場合に線形改善が達成可能であるという予想を確認する。

ABSTRACT

The greedy coloring algorithm shows that a graph of maximum degree at most $\Delta$ has chromatic number at most $\Delta + 1$, and this is tight for cliques. Much attention has been devoted to improving this "greedy bound" for graphs without large cliques. Brooks famously proved that this bound can be improved by one if $\Delta \geq 3$ and the graph contains no clique of size $\Delta + 1$. Reed's Conjecture states that the "greedy bound" can be improved by $k$ if the graph contains no clique of size $\Delta + 1 - 2k$. Johansson proved that the "greedy bound" can be improved by a factor of $\Omega(\ln(\Delta)^{-1})$ or $\Omega\left(\frac{\ln(\ln(\Delta))}{\ln(\Delta)} ight)$ for graphs with no triangles or no cliques of any fixed size, respectively. Notably missing is a $ extit{linear}$ improvement on the "greedy bound" for graphs without large cliques. In this paper, we prove that for sufficiently large $\Delta$, if $G$ is a graph with maximum degree at most $\Delta$ and no clique of size $\omega$, then $$\chi(G) \leq 72\Delta\sqrt{\frac{\ln(\omega)}{\ln(\Delta)}}.$$ This implies that for sufficiently large $\Delta$, if $\omega^{(72c)^2} \leq \Delta$ then $\chi(G) \leq \Delta/c$. This bound actually holds for the list-chromatic and even the correspondence-chromatic number (also known as the DP-chromatic number). In fact, we prove what we call a "local version" of it, a result implying the existence of a coloring when the number of available colors for each vertex depends on local parameters, like the degree and the clique number of its neighborhood. Our result simultaneously implies the linear improvement over the "greedy bound" and the two aforementioned results of Johansson.

研究の動機と目的

• 最大クリークを含まないグラフにおいて、貪欲な彩色境界が線形要因で改善可能かどうかを解明すること。
• 三角形を含まないおよびH-自由グラフに対してJohanssonが得た先行結果を統一・強化すること。
• 頂点の次数および近傍におけるクリークサイズに依存する色の利用可能性を条件とする局所的彩色条件を確立すること。
• 特にω = o(∆)かつ∆が大きい場合に、貪欲な境界に対する線形改善が予想通り達成可能かどうかを確認すること。
• 結果をリスト彩色数および対応彩色数（DP彩色）に拡張すること。

提案手法

• 各頂点vが、|L(v)| ≥ 72 deg(v) · min{ log²(χ(v)+1)/ln(deg(v)), ω(v) ln(ln(deg(v)))/ln(deg(v)), √(ln(ω(v))/ln(deg(v))) } 個の色を有するという局所的彩色条件を導入する。
• Ramsey理論的境界とShearerの補題を用いた近傍部分グラフにおける独立集合のサイズの精密分析を適用する。
• Stirlingの近似および対数不等式を用いて独立集合の数を抑え、色の利用可能性を保証する。
• 反復的色の排除を伴う確率的技法を用い、局所的条件の下で有効な彩色の存在を示す。
• MolloyおよびBernshteynの結果を活用し、大きなクリークを含まないグラフにおける独立集合の下界を応用する。
• 導出された局所的条件の下でL-彩色可能性を保証するTheorem 1.13を用いて、主結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大クリークを含まないグラフにおいて、彩色数の貪欲な境界∆+1が線形要因で改善可能か？
• RQ2 サイズωのクリークを含まないグラフに対して、リスト彩色数がO(∆ / √(ln ω / ln ∆))として一様に有界されるか？
• RQ3 Johanssonの三角形を含まないおよびH-自由グラフに対する境界が、同一の局所的彩色条件の下で統一・一般化可能か？
• RQ4 対応彩色数（DP彩色数）に対しても、この改善された境界が成立するか？
• RQ5 ω ≤ ∆^{1/f(c)} である限り χℓ(G) ≤ ∆/c が成り立つような最良の関数f(c)は何か？

主な発見

• 最大次数∆でサイズωのクリークを含まないグラフに対して、リスト彩色数χℓ(G)はO(∆ / √(ln ω / ln ∆))で有界である。
• 十分に大きな∆に対して、ω ≤ (∆^{1/(72c)^2}) ならば、χℓ(G) ≤ ∆/c が成り立つ。これは貪欲な境界に対する線形改善を確認する。
• この境界は彩色数に限らず、リスト彩色数および対応彩色数（DP彩色数）に対しても成立する。
• 局所的彩色条件が十分であることが証明された：各頂点vは、その近傍の彩色数、クリークサイズ、次数を含む3つの項の最小値を72倍した数以上の色を必要とする。
• この結果により、Johanssonの境界が統一・強化された。特に、三角形を含まないグラフに対してO(∆ / ln ∆)の境界を回復し、H-自由グラフに対してはO(∆ ln ln ∆ / ln ∆)の境界を回復する。
• 質問1.5における関数f(c)の下界が提示された。Ramsey数の構成に基づき、f(c) ≥ c/2 + 1（整数c ≥ 3）であることが示された。