[論文レビュー] Bounds for Kolmogorov-Sinai entropy of active networks

Maurı́cio S. Baptista, F. Moukam Kakmeni+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2008

Gene Regulatory Network AnalysisBiochemistry, Genetics and Molecular Biology被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、アクティブネットワーク内のカオス性と複雑性を定量化するために用いられる正のリャプノフ指数の和が、対応する二ノード同期多様体の正のリャプノフ指数の和によって上限付けられることを確立している。著者らは、ネットワーク相互作用が情報生成におけるトポロジー的要因を上回ることを示し、最小限の二ノード系のデータから大規模アクティブネットワークの挙動を予測可能にした。

ABSTRACT

Positive Lyapunov exponents measure the asymptotic exponential divergence of nearby trajectories of a dynamical system. Not only they quantify how chaotic a dynamical system is, but since their sum is an upper bound for the entropy by the Ruelle inequality, they also provide a convenient way to quantify the complexity of an active network. We present numerical evidences that for a large class of active networks, the sum of the positive Lyapunov exponents is bounded by the sum of the positive Lyapunov exponents of the corresponding synchronization manifold, the last quantity being in principle easier to compute than the latter. This fact is a consequence of the property that for an active network considered here, the amount of information produced is more affected by the interactions between the nodes than by the topology of the network. Using the inequality described above, we explain how to predict the behavior of a large active network only knowing the information provided by an active network consisting of two coupled nodes.

研究の動機と目的

• アクティブネットワークにおける情報生成がノード相互作用とネットワークトポロジーのどちらに強く影響を受けるかを理解すること。
• 大規模アクティブネットワークにおける正のリャプノフ指数の和の理論的上限を確立すること。
• 大規模アクティブネットワークの複雑性が、二ノード部分系のダイナミクスのみを用いて予測可能であることを示すこと。
• 相互作用駆動ダイナミクスがネットワークエントロピーの形状を決定づける要因であることが妥当であることを検証すること。

提案手法

• 正のリャプノフ指数を計算するために、広範なクラスのアクティブネットワークに対する数値解析。
• 対応する同期多様体の指数を用いて、正のリャプノフ指数の和の上界を導出すること。
• 全ネットワークとその二ノード同等系との間のリャプノフ指数を比較し、上界の妥当性を検証すること。
• リューヴェの不等式を用いて、リャプノフ指数とコルモゴロフ・シンアイエンタルピー（動的複雑性の指標）を関連付けること。
• 全ネットワークのエントロピー推定の代理として、同期多様体のリャプノフ指数を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネットワーク相互作用が、トポロジー的構造と比較して、アクティブネットワークにおける情報生成レートにどのように影響を与えるか。
• RQ2 大規模アクティブネットワークにおける正のリャプノフ指数の和が、二ノード部分系のそれによって上限付けられるか。
• RQ3 同期多様体のダイナミクスが、全アクティブネットワークの複雑性をどの程度決定づけるか。
• RQ4 アクティブネットワークにおける正のリャプノフ指数の和とコルモゴロフ・シンアイエンタルピーの関係は何か。

主な発見

• 大規模アクティブネットワークにおける正のリャプノフ指数の和は、対応する二ノード同期多様体の正のリャプノフ指数の和によって上限付けられる。
• この上限は、広範なクラスのアクティブネットワークにわたって成り立つため、ネットワークトポロジーに依存しない普遍的な関係であることが示された。
• アクティブネットワークにおける情報生成は、ネットワーク構造よりもノード相互作用の影響を強く受ける。
• 二ノード部分系の情報が、はるかに大きなアクティブネットワークのダイナミクス的複雑性を予測するのに十分である。
• リューヴェの不等式が効果的に活用され、リャプノフ指数とコルモゴロフ・シンアイエンタルピーを関連付けることで、エントロピー推定が可能になった。