[論文レビュー] Bounds on stabilizer measurement circuits and obstructions to local implementations of quantum LDPC codes

Nicolas Delfosse, Michael E. Beverland+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2次元局所的クリフォード回路が量子LDPC符号の安定化子を測定するために要する深さの根本的な下界を確立し、局所的拡張子符号のシンディーム抽出には、N量子ビットの2次元グリッド上で深さ少なくともΩ(n/√N)が必要であることを証明している。O(n²)およびO(n)のアーキテクチャ量子ビットを用いた最適な回路を構築したが、シミュレーションでは2次元局所性下で論理的閾値が得られず、浅い回路における誤り伝搬のため、量子LDPC符号はこのようなハードウェアでは実用的でない可能性がある。

ABSTRACT

In this work we establish lower bounds on the size of Clifford circuits that measure a family of commuting Pauli operators. Our bounds depend on the interplay between a pair of graphs: the Tanner graph of the set of measured Pauli operators, and the connectivity graph which represents the qubit connections required to implement the circuit. For local-expander quantum codes, which are promising for low-overhead quantum error correction, we prove that any syndrome extraction circuit implemented with local Clifford gates in a 2D square patch of $N$ qubits has depth at least $Ω(n/\sqrt{N})$ where $n$ is the code length. Then, we propose two families of quantum circuits saturating this bound. First, we construct 2D local syndrome extraction circuits for quantum LDPC codes with bounded depth using only $O(n^2)$ ancilla qubits. Second, we design a family of 2D local syndrome extraction circuits for hypergraph product codes using $O(n)$ ancilla qubits with depth $O(\sqrt{n})$. Finally, we use circuit noise simulations to compare the performance of a family of hypergraph product codes using this last family of 2D syndrome extraction circuits with a syndrome extraction circuit implemented with fully connected qubits. While there is a threshold of about $10^{-3}$ for a fully connected implementation, we observe no threshold for the 2D local implementation despite simulating error rates of as low as $10^{-6}$. This suggests that quantum LDPC codes are impractical with 2D local quantum hardware. We believe that our proof technique is of independent interest and could find other applications. Our bounds on circuit sizes are derived from a lower bound on the amount of correlations between two subsets of qubits of the circuit and an upper bound on the amount of correlations introduced by each circuit gate, which together provide a lower bound on the circuit size.

研究の動機と目的

• 2次元局所的ハードウェア制約下で、量子LDPC符号の安定化子を測定するために必要なクリフォード回路の深さの下界を確立すること。
• シンディーム抽出が2次元局所的操作に制限された場合、量子LDPC符号がフォールトトレラントな論理的閾値を達成できるかどうかを調査すること。
• 最小限のアーキテクチャ量子ビットオーバーヘッドで、量子LDPC符号のための効率的な2次元局所的シンディーム抽出回路を設計すること。
• 現実的な回路ノイズモデル下でのこれらの回路の性能を評価し、完全接続型実装と比較すること。

提案手法

• 各ゲートが導入する相関の上界と、量子ビット部分集合間の相関の下界に基づく相関に基づく議論を用いて、回路深さの下界を導出する。
• パウリ演算子のタンナーグラフと、量子ビット結合の接続性グラフの2つのグラフを用いて、安定化子測定問題をモデル化する。
• 2種類の2次元局所的シンディーム抽出回路の族を構築する：1つはO(n²)のアーキテクチャ量子ビットを用い、深さが有界であるもの。もう1つはO(n)のアーキテクチャ量子ビットを用い、ハイパーグラフ積符号に対して深さO(√n)であるもの。
• 各ゲート、準備、測定後に確率pでランダムなパウリ誤りが発生する回路ノイズモデルを実装し、複数ラウンドにわたってBPおよびSSFデコーダーを用いた誤り訂正をシミュレートする。
• アルゴリズム3を用いて、ハイパーグラフ積符号のための線形領域のシンディーム抽出回路を実装し、初期化と測定ステップを重ねることで深さを最適化する。
• 同一のノイズおよびデコーディングプロトコル下で、2次元局所的回路（アルゴリズム3）と完全接続型回路（アルゴリズム1）の論理的失敗率を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元局所的クリフォード回路が、量子LDPC符号の安定化子を測定するために要する最小深さは何か？
• RQ2 シンディーム抽出が2次元局所的操作に制限された場合、量子LDPC符号は論理的閾値を達成できるか？
• RQ3 2次元局所的シンディーム抽出回路において、アーキテクチャ量子ビットのオーバーヘッドと回路深さの最適なトレードオフは何か？
• RQ4 2次元局所的実装における回路ノイズは、完全接続型実装と比較して論理的失敗率にどのように影響するか？

主な発見

• 局所的拡張子量子LDPC符号の2次元局所的シンディーム抽出回路の深さは、nが符号長でNが2次元グリッド上の物理量子ビット数であるとき、Ω(n/√N)で下界を持つ。
• 2種類の2次元局所的シンディーム抽出回路の族を構築した：1つはO(n²)のアーキテクチャ量子ビットを用い、深さが有界であるもの。もう1つはO(n)のアーキテクチャ量子ビットを用い、ハイパーグラフ積符号に対して深さO(√n)であるもの。
• 数値的シミュレーションでは、ハイパーグラフ積符号の2次元局所的実装において、誤り率が10⁻⁶でさえも論理的閾値が得られず、一方完全接続型実装では10⁻³付近の閾値が達成された。
• 2次元局所的回路に閾値がないことは、浅い回路における誤り伝搬のため、量子LDPC符号が2次元局所的量子ハードウェアでは実用的でない可能性を示唆している。
• 相関に基づく証明技法は、シンディーム抽出を超えて一般化可能な回路サイズの下界を提供する可能性がある。