[論文レビュー] BPS Lie algebras and the less perverse filtration on the preprojective CoHA

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 46被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、前射影的CoHAのBorel–Mooreホモロジーに、双対化された混合Hodgeモジュールの付随する導来直接像の純粋性に起因する、新たな perverse filtration を導入する。このフィルトレーションの第0成分は、BPS リー代数の普遍包あらゆる代数と同型であり、半安定モジュールの交差コホモロジーが、BPS リー代数のすべての単純な双曲的根を、予想として実現する「カスピダルコホモロジー」を提供する。BPS リー代数はボルチャーツ代数であると予想される。

ABSTRACT

The affinization morphism for the stack $\mathfrak{M}(Π_Q)$ of representations of a preprojective algebra $Π_Q$ is a local model for the morphism from the stack of objects in a general 2-Calabi-Yau category to the good moduli space. We show that the derived direct image of the dualizing complex along this morphism is pure, and admits a decomposition in the sense of the Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber decomposition theorem. We introduce a new perverse filtration on the Borel-Moore homology of $\mathfrak{M}(Π_Q)$, using this decomposition. We show that the zeroth piece of the resulting filtration on the cohomological Hall algebra built out of the Borel-Moore homology of $\mathfrak{M}(Π_Q)$ is isomorphic to the universal enveloping algebra of an associated BPS Lie algebra $\mathfrak{g}_{Π_Q}$. This Lie algebra is defined via the Kontsevich-Soibelman theory of critical cohomological Hall algebras for 3-Calabi-Yau categories. We then lift this Lie algebra to a Lie algebra object in the category of perverse sheaves on the coarse moduli space of $Π_Q$-modules, and use this algebra structure to prove results about the summands appearing in the above decomposition theorem. In particular, we prove that the intersection cohomology of singular spaces of semistable $Π_Q$-modules provide "cuspidal cohomology" - a conjecturally complete subspace of canonical generators for $\mathfrak{g}_{Π_Q}$.

研究の動機と目的

• 前射影的代数表現のスタックのBorel–Mooreホモロジーに、双対化された混合Hodgeモジュールの付随する導来直接像の純粋性を用いて、新たな perverse フィルトレーションを定義する。
• このフィルトレーションの第0成分が、前射影的CoHAに関連するBPS リー代数の普遍包あらゆる代数と同型であることを特定する。
• 半安定モジュールの交差コホモロジーが、BPS リー代数の「カスピダルコホモロジー」を提供することを示し、予想としてすべての単純な双曲的根を実現するとする。
• BPS リー代数が、安定および孤立な半安定モジュールから生じる生成元によって生成されるボルチャーツ代数であると予想する。

提案手法

• アフィニゼーション準同型の沿って双対化された混合Hodgeモジュールの導来直接像が純粋であることを証明し、分解定理の適用を可能にする。
• Tate対象によるねじれを施した双対複体の導来プッシュフォワードを用いて、CoHAを順次代数として構成する。
• 導来直接像の純粋成分のコホモロジー次元をフィルター化することで、Borel–Mooreホモロジーに新たな perverse フィルトレーションを定義する。
• 分解定理を用いて、CoHAの構造と、粗いモジュライ空間上の交差コホモロジー層との関係を関係づける。
• BPS リー代数の球的リー部分代数が、$Q$ の実部分クーヴァーに対応するKac–Moody代数の半分を含むことを特定する。
• BPS リー代数全体が、安定および孤立な半安定コホモロジー類から生成されるボルチャーツ代数であると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前射影的代数表現のスタックのBorel–Mooreホモロジーの構造は何か？ そして、幾何学的・ホッジ理論的データを用いてどのようにフィルター化できるか？
• RQ2 前射影的モジュールのスタック上での双対化された混合Hodgeモジュールの導来直接像は、粗いモジュライ空間の幾何とどのように関係するか？
• RQ3 半安定モジュールの交差コホモロジーは、BPS リー代数の単純根の実現において果たす役割は何か？
• RQ4 前射影的CoHAに関連するBPS リー代数が、安定および孤立な半安定表現から生じる生成元によって生成されるボルチャーツ代数として実現可能か？
• RQ5 新しい perverse フィルトレーションは、CoHAの構造をどのように精緻化し、Kac–Moodyおよびボルチャーツ代数の表現論とどのように関係するか？

主な発見

• アフィニゼーション準同型に沿った双対化された混合Hodgeモジュールの導来直接像は純粋であり、これによりCoHAが純粋な重み成分に分解される。
• Borel–Mooreホモロジーに導入された新たな perverse フィルトレーションの第0成分は、BPS リー代数 $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$ の普遍包あらゆる代数と同型である。
• $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$ の球的リー部分代数は、$Q$ の実部分クーヴァーに対応するKac–Moodyリー代数の半分を含み、Kac–Moody構造の一部を幾何的に実現する。
• 前射影的 $\Pi_Q$-モジュールの空間の交差コホモロジーは、$\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$ の「カスピダルコホモロジー」を提供する。予想では、これはすべての単純な双曲的根を完全に形成する。
• BPS リー代数 $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$ は、安定および孤立な半安定表現から生じる生成元によって生成されるボルチャーツ代数であると予想される。
• この予想は、クーヴァーに対するBozec–SchiffmannのKac多項式に関する予想を含み、カスピダルコホモロジーを交差コホモロジー層の観点から幾何的に解釈する手がかりを提供する。