[論文レビュー] BQP-complete Problems Concerning Mixing Properties of Classical Random Walks on Sparse Graphs

Dominik Janzing, Paweł Wocjan|ArXiv.org|Oct 27, 2006

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、スパースで対称的なグラフ上の古典的ランダムウォークの混合性に関する2つのBQP完全問題を提示する。推移的ステップ数が多項式対数関数的である範囲で、頂点間の経路数の差を推定すること、および連続時間ウォークにおける確率差の減衰率を特定することの2つが、量子計算的に困難であることを示している。これは、量子コンピュータが古典的確率過程における微細な混合挙動を効率的に解けるという、量子優位性を示している。

ABSTRACT

We describe two BQP-complete problems concerning properties of sparse graphs having a certain symmetry. The graphs are specified by efficiently computable functions which output the adjacent vertices for each vertex. Let i and j be two given vertices. The first problem consists in estimating the difference between the number of paths of length m from j to j and those which from i to j, where m is polylogarithmic in the number of vertices. The scale of the estimation accuracy is specified by some a priori known upper bound on the growth of these differences with increasing m. The problem remains BQP-hard for regular graphs with degree 4. The second problem is related to continuous-time classical random walks. The walk starts at some vertex j. The promise is that the difference of the probabilities of being at j and at i, respectively, decays with O(exp(-μt)) for some μ>0. The problem is to decide whether this difference is greater than a exp(-μT) or smaller than b exp(-μT) after some time instant T, where T is polylogarithmic and the difference a-b is inverse polylogarithmic in the number of vertices. Since the probabilities differ only by an exponentially small amount, an exponential number of trials would be necessary if one tried to answer this question by running the walk itself. A modification of this problem, asking whether there exists a pair of nodes for which the probability difference is at least a exp(-μT), is QCMA-complete.

研究の動機と目的

• 量子ダイナミクスの単なる再定式化を避ける、グラフ理論における自然で組合せ的に意味のあるBQP完全問題を特定すること。
• スパースグラフにおける2つの頂点間の長さmの経路数の差を推定することはBQP完全であることを確立すること。
• 正則でスパースなグラフにおける連続時間古典的ランダムウォークにおいて、確率差の減衰率を特定することは、同様にBQP完全であることを示すこと。
• 特定のペアの対称的ノードが遅く減衰するかどうかを問う混合問題の変種がQCMA完全であることを示し、複雑度クラスの違いを強調すること。

提案手法

• スパース隣接行列のスペクトルモーメントを推定するために、量子位相推定をサブルーチンとして用い、経路差や確率差の効率的計算を可能にする。
• スパース行列Aのm乗のj番目の対角成分を推定する量子アルゴリズムを構築し、これはjからjへの長さmの経路数のカウントに相当する。
• 隣接行列を±1, 0の要素を持つ量子観測可能量として符号化することで、経路差推定問題をスペクトルモーメント推定問題に還元する。
• 連続時間ランダムウォークを行列指数e^{-tA}でモデル化し、Aをグラフラプラシアンとする。位相推定を用いて、対称的ノード間の確率差の減衰を推定する。
• 証拠に基づく構築法を用い、自己同型性によって誘発されるノードペアを持つグラフに問題を還元し、受理が確率差の遅い減衰に対応するようにする。
• グラフのノードを再順序付け、量子レジスタ状態をノードペア(2j, 2j+1)にマッピングすることで、重ね合わせ状態に対する位相推定を用いて、遅く減衰する差を検出可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースグラフ上の古典的ランダムウォークの混合性に関する問題がBQP完全であることを示せるか？
• RQ2 スパースグラフにおける2つの頂点間のmステップ経路数の差を推定することは、BQP完全な問題か？
• RQ3 連続時間ランダムウォークにおける2つの対称的ノード間の確率差の減衰率は、量子コンピュータによって効率的に決定可能か？
• RQ4 与えられた時間T内に、任意の対称的ノードペアが所定のしきい値を超える確率差を示すかどうかを特定する問題の複雑度は何か？
• RQ5 BQPとQCMAという複雑度クラスは、スパースグラフのスペクトル的性質を含む問題に対してどのように関係するか？

主な発見

• スパースグラフにおける頂点iからjへのmステップ経路数とjからjへのmステップ経路数の差を推定する問題は、4正則グラフでさえもBQP完全である。
• 連続時間混合問題—2つの対称的ノード間の確率差が所定の指数的境界よりも遅く減衰するかどうかを決定する問題—はBQP完全である。
• 時間Tおよび減衰係数a, bが頂点数の多項式対数関数的である場合、差a−bが逆多項式対数関数的である場合でも、問題はBQP完全のまま維持される。
• 「任意の対称的ノードペアが確率差を所定のしきい値以上に保つかどうか」を問う混合問題の変種はQCMA完全である。
• 結果は、量子コンピュータが、古典的試行に指数的回数を要するような、指数的に小さい確率差を含む問題を効率的に解けることを示している。
• 構成は、隣接関数が効率的に計算可能なスパース行列のスペクトル分解と位相推定に依存しており、古典的確率過程と量子計算複雑度の間の橋渡しを確立している。