[論文レビュー] Branes and Quantization for an A-Model Complexification of Einstein Gravity in Almost Kahler Variables

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Oct 26, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非可積分多様体に2+2分布を持つ非可換多様体上の(擬)リーマン計量から導かれるシンプレクティック形式と正準シンプレクティック接続を用いて一般相対性理論をほぼカーラー変数で再定式化することで、アインシュタイン重力の量子化の新しい手法を提案する。Gukov–Witten Aモデルの量子化フレームワークを適用し、非可換Aブレインのストリングのヒルベルト空間を構成することで、量子重力とソリトン階層および双ハミルトニアン構造をN適応幾何学を介して結びつける。

ABSTRACT

The general relativity theory is redefined equivalently in almost Kahler variables: symplectic form and canonical symplectic connection (distorted from the Levi-Civita connection by a tensor constructed only from metric coefficients and their derivatives). The fundamental geometric and physical objects are uniquely determined in metric compatible form by a (pseudo) Riemannian metric on a manifold enabled with a necessary type nonholonomic 2+2 distribution. Such nonholonomic symplectic variables allow us to formulate the problem of quantizing Einstein gravity in terms of the A-model complexification of almost complex structures on spacetime manifold, generalizing the Gukov-Witten method, see arXiv:0809.0305. Quantizing the complexified model, we derive a Hilbert space as a space of strings with two A-branes which for the Einstein gravity theory are nonholonomic because of induced nonlinear connection structures. Finally, we speculate on relation of such a method of quantization to curve flows and solitonic hierarchies defined by Einstein metrics on (pseudo) Riemannian spacetimes.

研究の動機と目的

• 非可換多様体に2+2非可積分分布を持つ場合に、シンプレクティック形式と正準シンプレクティック接続からなるほぼカーラー変数で一般相対性理論を再定式化すること。
• Gukov–Witten Aモデルの量子化手法をアインシュタイン重力に適用し、ブレインを用いた幾何的量子化フレームワークを可能にすること。
• 非可換Aブレインのストリングのヒルベルト空間を構成し、計量によって誘導される非線形接続構造を保存すること。
• 得られた量子重力モデルが、曲線の流れ、ソリトン階層、およびアインシュタイン計量によって定義される双ハミルトニアン構造とどのように関係するかを明らかにすること。
• N適応接続とシンプレクティック幾何学を用いて、Fedosov型の量子化を重力に一般化すること。

提案手法

• 多様体Vに非可換2+2分布を用い、計量gの係数とその微分から構成されるテンソルによるリーマン接続の歪みを介して、シンプレクティック形式θ[g]と正準シンプレクティック接続D̂[g]を用いてほぼカーラー構造を定義する。
• アインシュタイン重力のほぼカーラー幾何にAモデルトポロジカルストリング理論のフレームワークを適用し、時空を複素化された多様体とみなして、Aブレインをシンプレクティック構造に結合させる。
• ヒルベルト空間は、2つの非可換Aブレイン(gBcc, gB′)の間を張るストリングの空間として構成され、計量によって誘導される非線形接続構造を保存する。
• 非可換分布およびシンプレクティック構造と整合性を持つように、N適応微分幾何学（N接続係数、適応接続、曲率形式を含む）を用いる。
• 非可換Aモデルストリングのヒルベルト空間Hgにヘルミート内積を導出し、ユニタリティおよびトポロジカル整合性を保証する。
• 正準d接続とN構造に適応した曲率形式を用いて、Fedosov量子化を重力に一般化する。具体的には、トーショントラス、曲率、リッチテンソルのN適応成分に対する明示的式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論は、非可換多様体に2+2分布を持つ場合に、シンプレクティック形式と正準シンプレクティック接続からなるほぼカーラー変数でどのように等価に再定式化可能か？
• RQ2 非可換Aブレインとシンプレクティック幾何学を用いて、Gukov–Witten Aモデルの量子化手順をアインシュタイン重力に一貫して適用可能か？
• RQ3 この枠組みにおける量子状態のヒルベルト空間の構造は何か？ また、2つの非可換Aブレインの間を張るストリングの空間としてどのように実現されるか？
• RQ4 非可換Aブレインと双ハミルトニアン構造を介して構築された量子重力モデルは、曲線の流れやソリトン階層とどのように関係するか？
• RQ5 このほぼカーラー定式化におけるユニタリティおよび理論の整合性を保証するN適応幾何的およびトポロジカル制約は何か？

主な発見

• 非可換多様体のh-v分割を保存し、h-vおよびv-vのねじれ成分が消える正準ほぼシンプレクティックd接続D̂を構成し、シンプレクティック幾何学と整合性を持つことを保証する。
• シンプレクティック形式θ[g]と接続D̂[g]は、(擬)リーマン計量gによって一意に定まり、接続は計量とその微分から導かれるテンソルによるリーマン接続の歪みとして表現される。
• ヒルベルト空間Hgは、2つの非可換Aブレイン(gBcc, gB′)の間を張るストリングの空間として実現され、ユニタリティおよびトポロジカル整合性を保証するヘルミート内積が定義される。
• 正準d接続D̂の曲率2形式はN適応成分で計算され、非自明な成分R̂ijk、P̂jka、Ŝbcdを有し、これらはほぼカーラー枠組みにおける重力力学を符号化する。
• 正準d接続のスカラー曲率R̂はR̂ = g^βγ R̂_βγとして表され、非可換設定下での標準リッチスカラーと整合的であることが示される。
• N適応対称性および曲線流れ方程式を通じて、量子重力モデルがソリトン階層および双ハミルトニアン構造と結びつき、以前のFedosov量子化の重力への一般化を拡張する。