[論文レビュー] Noncommutative Finsler Geometry, Gauge Fields and Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|May 16, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 73被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、射影的モジュールにおける非線形接続と非完全フレームを導入することで、A. コンヌの非可換幾何学を一般化した局所的異方性を含むものに拡張する。これにより、非可換ファインセラー、ゲージ、重力理論の構築が可能となり、スペクトル三重項と非可換設定におけるゲージ接続から一般化されたアインシュタイン型およびファインセラー型重力モデルを導出できる。主な貢献は、非可換幾何学と異方的幾何学を統合する枠組みを提供することであり、非可換性と異方性の両方を統合した理論的基盤を確立する。

ABSTRACT

The work extends the A. Connes' noncommutative geometry to spaces with generic local anisotropy. We apply the E. Cartan's anholonomic frame approach to geometrical models and physical theories and develop the nonlinear connection formalism for projective module spaces. Examples of noncommutative generation of anholonomic Riemann, Finsler and Lagrange spaces are analyzed. We also present a research on noncommutative Finsler--gauge theories, generalized Finsler gravity and anholonomic (pseudo) Riemann geometry which appear naturally if anholonomic frames (vierbeins) are defined in the context of string/M--theory and extra dimension Riemann gravity.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学を非完全フレームと非線形接続を用いて一般化し、局所的異方性を含むように拡張すること。
• 射影的モジュールとスペクトル三重項を用いて、ファインセラー、ラグランジュ、一般化されたリーマン幾何学の非可換形式を構築すること。
• 非可換ゲージ理論および異方的相互作用を有する重力理論を、低エネルギー限界における超弦/M理論と整合する形で構築すること。
• E. カルタンの移動フレーム法を用いて、非可換幾何学と非完全（擬）リーマン幾何学およびファインセラー型幾何学を統合すること。
• 非可換重力およびゲージ力学が非線形接続とデシータ群の包あらわし代数を用いて一貫して定式化可能であることを示すこと。

提案手法

• E. カルタンの非完全フレーム形式を非可換空間へ適応し、ベクトルバンドルを有限型の射影的モジュールとしてモデル化する。
• 射影的モジュールにおける非線形接続（N-接続）を導入し、可換ベクトルバンドルにおける非線形接続の概念を一般化する。
• 非線形接続構造を備えたベクトルバンドル上に特徴的なスペクトル三重項を構築し、異方性を有する非可換微分幾何学を可能にする。
• コンヌ–ディクスミエ–ヴォドジッチのスペクトル作用原理を異方的幾何学に適用し、一般化されたファインセラー–重力およびアインシュタイン型モデルを導出する。
• スタープロダクトおよび包あらわし代数技術を用いて非可換ゲージ接続を定義し、特にデシータ群の対称性に適応する。
• 非可換接続とフレーム場を用いて重力曲率の一次補正を導出し、ゲージ共変な重力力学を定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学は、非完全フレームと非線形接続を用いて、一般の局所的異方性をどのように拡張できるか？
• RQ2 射影的モジュール空間において、非可換ファインセラー、ラグランジュ、一般化されたリーマン幾何学を構築するための条件は何か？
• RQ3 非可換ゲージ理論および異方的相互作用を有する重力理論は、スペクトル三重項の枠組み内で一貫して定式化可能か？
• RQ4 非可換ファインセラー–ゲージ理論は、超弦理論の低エネルギー限界および非完全フレーム構造からどのように導出可能か？
• RQ5 非線形接続と非完全変換は、非可換場の理論における有効な異方的相互作用を生成する役割を果たすか？

主な発見

• 非線形接続構造を有する射影的モジュール上のスペクトル三重項を用いて、非可換ファインセラーおよび異方的重力モデルが成功裏に構築された。
• この形式は、コンヌ–ディクスミエ–ヴォドジッチのスペクトル作用を用いて、非可換設定における一般化されたアインシュタイン型重力およびファインセラー型幾何学を導出可能であることを示した。
• 非可換ゲージ理論は、デシータ群の包あらわし代数を用いて実現され、可換極限では非半単純構造群を有するヤン–ミルズ理論が回復される。
• 非可換接続から重力曲率の一次補正が導出され、ゲージ共変性が保たれ、一貫した量子重力力学を可能にする。
• 非完全フレームと非線形接続は、非可換場の理論において有効な異方的相互作用を生成し、非可換計量の定義に関する問題を回避する。
• この枠組みは、非可換幾何学と異方的幾何学を統合し、ファインセラー型構造が超弦理論および高次元重力の低エネルギー限界において自然に出現することを示した。