[論文レビュー] Brief Lecture Notes on Self-Referential Mathematics, and Beyond

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|May 2, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Zermelo-Fraenkel集合論に一貫した拡張を導入し、基礎の公理を反基礎公理（AFA）に置き換えることで、自己言及的集合の存在を許容しつつ、ZFCが一貫している限り一貫性を保つ。自己言及は本質的にパラドックス的ではなく、デジタル計算機における非一貫的システムの実用的役割も強調し、自己言及と矛盾を含むより広範な数学的枠組みの必要性を提唱する。

ABSTRACT

Recently delivered lectures on Self-Referential Mathematics, [2], at the Department of Mathematics and Applied Mathematics, University of Pretoria, are briefly presented. Comments follow on the subject, as well as on Inconsistent Mathematics.

研究の動機と目的

• 標準的集合論に基礎の公理を反基礎公理（AFA）に置き換えることで、一貫した拡張を提案し、自己言及的集合を許容すること。
• 集合論における「悪循環」の否定的意味合いを再解釈し、自己言及を数学的および人間的思考における根本的で非パラドキシカルな概念として位置づけること。
• デジタルコンピュータが矛盾する公理の下で動作している例として示される非一貫的数学が、実際には広範に使用されていることの主張。
• 自己言及と非一貫性を統合するより広範な数学的枠組みの提唱。これにより、数学的探求の新たな巨大な領域が開かれる可能性を示唆すること。
• 集合、自己対象（ur-elements）、およびクラスの基礎的区別を明確にし、一貫した公理的体系内での自己言及的定義の役割を形式化すること。

提案手法

• ZFCにおける基礎の公理（FA）を、すべての平坦な方程式系に一意な解が存在することを主張する反基礎公理（AFA）に置き換える。
• 集合（SET）、自己対象（U）、クラス（CLASS）の階層を定義し、自己対象は要素を持たない非集合であると定義する。
• AFAを用いて、x = {x} のような方程式の解を許容することで、FAでは整礎でない自己言及的集合を生成する。
• 集合、固有クラス、自己対象の区別を形式化し、SET と U が SET 属さない固有クラスであることを保証する。
• 新しい自己対象を既存の集合および自己対象の部分集合から生成する強力な豊穣公理を導入し、一意性と単射性を保証する。
• ZFA（ZFC から FA を除き AFA を追加したもの）が ZFC と同様に一貫していることを、モデル理論的推論により示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己言及的集合は、基礎的原則を損なわずに標準的集合論に一貫して組み込むことができるか？
• RQ2 基礎の公理を反基礎公理に置き換えることの数学的・哲学的意義は何か？
• RQ3 集合論における自己言及的定義の使用は、人間の思考における自己言及の歴史的および認知的伝統とどのように関係しているか？
• RQ4 現実世界のシステム、たとえばデジタルコンピュータのように、すでに非一貫的数学に依拠しているものがあるが、そのことは基礎的数学にどのような含意を持つのか？
• RQ5 自己言及と非一貫性を形式的体系で統合することで、どのような新しい数学的構造や領域が開かれるのか？

主な発見

• 反基礎公理（AFA）により、すべての平坦な方程式系に一意な解が存在することが保証され、x = {x} のような自己言及的集合の存在が可能になる。
• ZFA（ZFC から FA を除き AFA を追加した理論）は、ZFC が一貫している限り一貫している。つまり、自己言及的集合を追加しても論理的矛盾が生じない。
• 自己言及的集合は本質的にパラドキシカルではない。『悪循環』という用語は誤解を招きやすく、ルイゼルのパラドックスに偏った歴史的視点に起因する。
• デジタルコンピュータは矛盾するシステムの下で動作している：ペアノの公理を満たすが、非常に大きな M に対して M + 1 = M を満たす「機械的無限公理」も満たしており、ペアノ算術とは矛盾する。
• このような計算機における実用的非一貫性の存在は、非一貫的数学が単に実現可能であるだけでなく、現代技術においてすでに不可欠であることを示唆する。
• 本論文は、自己言及と非一貫性を統合する新たな数学的フロンティアが存在すると提唱し、これにより数学的探求の新たな巨大な領域が開かれる可能性があると示唆する。