[論文レビュー] Brill-Noether duality for moduli spaces of sheaves on K3 surfaces

Eyal Markman|ArXiv.org|Jan 18, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、スルーレイ・ミンコフスキー変換の一般化である階層的 Mukai 基本変換を構成することにより、K3 表面上の層のモジュライ空間に対して Brill-Noether 双対性を確立する。Mukai ラティスにおける反射で、K3 表面の第二コホモロジーに自明に作用するものから、第一チャーン類が最小の層のモジュライ空間に双有理的階層的基本変換が誘導され、カップ積を用いた代数的対応によるコホモロジー同型を特定するピカード・レフシェッツ型の公式を証明する。

ABSTRACT

Components of the Moduli space of sheaves on a K3 surface are parametrized by a lattice; the (algebraic) Mukai lattice. Isometries of the Mukai lattice often lift to symplectic birational isomorphisms of the collection of components. An example of such a birational isomorphism is the Abel-Jacobi map relating the Hilbert scheme of g points on a K3 of degree 2g-2 to an integrable system: the union of Jacobians of hyperplane sections (curves) of genus g. The main results are: 1) We construct a stratified version of a Mukai elementary transformation modeled after dual pairs of Springer resolutions of nilpotent orbits. It applies to a holomorphic-symplectic variety M with a stratification where the first stratum is a P^n bundle, but lower strata are Grassmannian bundles. The resulting (transformed) symplectic variety W admits a stratification by the dual Grassmannian bundles. 2) The group of reflections of the Mukai lattice, which act trivially on the second cohomology of the K3 surface, acts on moduli spaces of sheaves (with ``minimal'' first Chern class) as birational stratified elementary transformations. 3) We derive a Picard-Lefschetz type formula identifying the isomorphism of cohomology rings of a holomorphic-symplectic variety M and its stratified transform W as the cup product with an algebraic correspondence.

研究の動機と目的

• ノンアーベル的軌道のスルーレイ解体の双対性を、階層的構造を持つ複素シンプレクティック多様体へ一般化すること。
• 特に K3 表面の第二コホモロジーに自明に作用する Mukai ラティスの等長変換が、層のモジュライ空間にどのように作用するかを理解すること。
• 階層的構造において双対グレアマン多様体バンドル構造を模倣するように、層のモジュライ空間の双有理変換を構成すること。
• 代数的対応を通じて、複素シンプレクティック多様体とその変換された相手との間のコホモロジー双対性を確立すること。
• K3 表面およびその層モジュライ空間の文脈において、Brill-Noether 双対性の幾何的実現を提供すること。

提案手法

• 最初の層が P^n バンドルで、それより下位の層がグレアマン多様体バンドルであるような、複素シンプレクティック多様体に対する階層的 Mukai 基本変換を構成する。
• 変換された多様体 W に双対的層構造を定義し、各層が双対グレアマン多様体バンドルに対応するようにする。
• K3 表面 S の H^2(S, Z) に自明に作用する Mukai ラティス内の反射を用いて、第一チャーン類が最小の層のモジュライ空間に双有理的シンプレクティック変換を誘導する。
• 代数的対応の理論を用いて、元の多様体と変換された多様体のコホモロジールーピングを関連付ける。
• 特定の代数的対応とのカップ積として表現される、コホモロジー同型を示すピカード・レフシェッツ型の公式を導出する。
• ヒルベルトスキームとヤコビ線形ファイブレーションの幾何を、双対性構成のプロトタイプとして活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノンアーベル的軌道のスルーレイ解体の双対性を、階層的構造を持つ複素シンプレクティック多様体へどのように一般化できるか？
• RQ2 Mukai ラティス内の反射が、K3 表面上の層のモジュライ空間にどのように双有理的変換を誘導するか？
• RQ3 複素シンプレクティック多様体とその階層的 Mukai 変換された相手との間の正確なコホモロジー的関係は何か？
• RQ4 階層的基本変換は、各層におけるバンドル型の交換を保ちながらも、どのようにシンプレクティック構造を保存するか？
• RQ5 ヒルベルトスキームとヤコビアンの間のアーベル・ジャコビ写像は、K3 表面の層モジュライ空間におけるより広範な双対性の特別な場合と見なせるか？

主な発見

• P^n およびグレアマン多様体の層を持つ複素シンプレクティック多様体に対して、階層的 Mukai 基本変換が構成され、その結果として双対グレアマン多様体バンドルによる双対的層構造が得られる。
• K3 表面 S に対して H^2(S, Z) に自明に作用する Mukai ラティス内の反射は、第一チャーン類が最小の層のモジュライ空間に双有理的階層的基本変換を誘導する。
• 元の多様体 M とその変換された相手 W のコホモロジールーピングは、ピカード・レフシェッツ型の公式に従い、特定の代数的対応とのカップ積によって同型である。
• この双対性構成は、K3 表面の g 点のヒルベルトスキームから、種数 g の超平面切断のヤコビアンの和集合への古典的アーベル・ジャコビ写像を一般化する。
• 変換は複素シンプレクティック構造を保存し、K3 表面のモジュライ空間の文脈における Brill-Noether 双対性の幾何的実現を提供する。
• 結果は、Mukai ラティスでパrametrizedされた K3 表面上の層のモジュライ空間に対して有効であり、双対性はラティスの等長変換によって誘導される。