[論文レビュー] BSDEs with two RCLL Reflecting Obstacles driven by a Brownian Motion and Poisson Measure and related Mixed Zero-Sum Games

Saïd Hamadène, H.Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、独立なブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される、2つの右連続左極限（RCLL）反射壁を持つバックワードストキャスティック微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を確立する。これは、一様リプシッツ条件および壁の完全な分離を仮定したもとで成り立つ。主な貢献は、壁の間のスーパーマーティンググールの差として表現されないという制限のない条件下で、関連する混合ゼロ和微分積分ゲームにおける価値の存在を証明することにある。

ABSTRACT

In this paper we study Backward Stochastic Differential Equations with two reflecting right continuous with left limits obstacles (or barriers) when the noise is given by Brownian motion and a Poisson random measure mutually independent. The jumps of the obstacle processes could be either predictable or inaccessible. We show existence and uniqueness of the solution when the barriers are completely separated and the generator uniformly Lipschitz. We do not assume the existence of a difference of supermartingales between the obstacles. As an application, we show that the related mixed zero-sum differential-integral game problem has a value.

研究の動機と目的

• 一般のリーヴィノイズ、特にブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される、2つの反射的右連続左極限（RCLL）障害をもつバックワードストキャスティック微分方程式（BSDE）を研究すること。
• 障害が予測可能かつ到達不能なジャンプを両方とも有する場合の、このようなBSDEを解くという課題に取り組むこと。
• 2つの障害の差がスーパーマーティンググールの差として表現可能であるという制限的な仮定を排除すること。
• BSDEの解を用いて、混合ゼロ和微分積分ゲームにおける価値の存在を確立すること。

提案手法

• 独立なブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される2壁反射BSDEを定式化すること。
• 生成子の一様リプシッツ連続性に基づく固定点論法を用いて、解の存在および一意性を証明すること。
• 2つの反射壁を、予測可能および到達不能なジャンプを含む任意のジャンプダイナミクスをもつRCLL過程としてモデル化すること。
• 壁が完全に分離されていることを保証すること、すなわち上側の壁が常に下側の壁よりも厳密に上方に位置していること。
• 解を、価値がBSDEの解から導かれる混合ゼロ和ゲーム枠組みに適用すること。
• ブラウン運動とポアソン測度の独立性を活用して、解析における確率的ダイナミクスを分離すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動およびポアソン測度によって駆動される2壁反射BSDEが、どのような条件下で一意な解をもつか？
• RQ2 2つの障害の差がスーパーマーティンググールの差として表現可能であると仮定しないでも、解を確立できるか？
• RQ3 反射壁に含まれる予測可能および到達不能なジャンプは、BSDEの可解性にどのように影響するか？
• RQ4 反射BSDEの解は、混合ゼロ和微分積分ゲームにおける価値の存在を示唆するか？
• RQ5 存在および一意性を保証するための、生成子および障害に関する構造的仮定は何か？

主な発見

• 壁が完全に分離されており、生成子が一様リプシッツである限り、2壁反射BSDEに対して一意な解が存在する。
• 2つの障害の差がスーパーマーティンググールの差として表現可能である必要がないという仮定を排除したことで、従来の仮定の大幅な緩和が達成された。
• 解の存在は、関連する混合ゼロ和微分積分ゲームが価値をもつことを示唆する。
• この手法は、予測可能および到達不能なジャンプをもつ障害に対しても適用可能であり、許容可能な障害のクラスを拡張する。
• ブラウン運動とポアソン確率測度の独立性は、ダイナミクスの分離および固定点論法の成立に不可欠である。