[論文レビュー] Bubble diagram through the Symmetries of Feynman Integrals method

Barak Kol|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Computational Physics and Python Applications参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、外部レグの付いた1ループ propagator（バブル図）に対して、Feynman積分の対称性（SFI）手法を初めて適用し、外部運動量からの運動量不変量を含めるようにSFIを拡張した。偏微分方程式系を導出し、不変変数を用いて解き、既知の積分値を再現した。この結果は、三角形幾何学と関連づけられ、代数的位相は $\lambda=0$ 円錐と $p^2=0$ 平面として特定された。

ABSTRACT

The Symmetries of Feynman Integrals method (SFI) associates a natural Lie group with any diagram, depending only on its topology. The group acts on parameter space and the method determines the integral's dependence within group orbits. This paper analyzes the bubble diagram, namely the 1-loop propagator diagram, through the SFI method. This is the first diagram with external legs to be analyzed within SFI, and the method is generalized to include this case. The set of differential equation is obtained. In order to solve it the set is transformed into partially invariants variables. The equations are integrated to reproduce the integral's value. This value is interpreted in terms of triangle geometry suggested by extant papers.

研究の動機と目的

• 外部レグを有する図にSFI手法を拡張し、外部運動量からの運動量不変量を統合する。
• 質量パラメータと外部運動量不変量を含むバブル図のSFI方程式セットを定式化する。
• 不変変数を用いて偏微分方程式系を解き、群の軌道に沿って統合する。
• SFIフレームワークを通じて、バブル図積分の既知の値を再現する。
• DavydychevとDelbourgoが示唆したように、三角形幾何学を用いて解を幾何学的に解釈する。

提案手法

• 次元正則化を用いて、質量および外部運動量不変量を用いてバブル図のFeynman積分を定義する。
• パrameter空間へのリー群作用に対応する、3つの偏微分方程式の系をSFI手法から導出する。
• 図のトポロジーに関連する群 $G$ を特定し、パrameter空間におけるその軌道を同定する。
• PDE系を部分的に不変な変数に変換して統合を簡略化する。
• 変換された方程式を統合し、同次解と特解をそれぞれ得る。
• 代数的位相（$\lambda=0$ と $p^2=0$ で定義される）を用いて特異行動を特定し、一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SFI手法を外部レグおよび運動量不変量を含む図に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 外部運動量が存在する状況下でのバブル図におけるリー群 $G$ 及びその軌道の構造は何か？
• RQ3 バブル図のSFI微分方程式は、αパラメータ統合やIBPによる既知の結果とどのように関係するか？
• RQ4 DavydychevとDelbourgoが示唆したように、解を三角形幾何学を用いて幾何学的に解釈できるか？
• RQ5 代数的位相はSFIフレームワークにおいて果たす役割は何か？また、積分の挙動にどのように影響するか？

主な発見

• SFI手法は外部レグを有するバブル図に成功裏に拡張され、一貫性のある3つの偏微分方程式系を生成した。
• SFI方程式の解は、バブル図積分の既知の値を再現し、手法の一貫性を確認した。
• 代数的位相は2つの成分からなる：$\lambda=0$ 円錐と $p^2=0$ 平面で、ここでは積分が特異な挙動を示す。
• 解は三角形幾何学を用いて幾何学的に解釈され、積分が2つの幾何的領域に対応する2つの項に分解された。
• タドル図はSFI方程式セットのソース項として現れ、積分の構造と関連づけられた。
• 不変変数の使用により、PDE系が線積分に簡略化され、明示的な統合と解法が可能になった。