[論文レビュー] C*-Algebras Associated with Iterated Function Systems

Gilles G. de Castro|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Kajiwara-Watataniの枠組みを用いて反復関数系（IFS）からC*-代数を構成し、IFSが有限分岐条件またはオープン集合条件を満たす場合、これらの代数からCuntz代数への自然な単射準同型を確立する。主な結果として、この準同型の像が自己相似集合の代数と等長写像によって生成されることを示し、左逆元条件が成り立つ場合には、Kajiwara-Watatani代数がExel交叉積と同型であることが示される。

ABSTRACT

We review Kajiwara and Watatani's construction of a C*-algebra from an iterated function system (IFS). If the IFS satisfies the finite branch condition or the open set condition, we build an injective homomorphism from Kajiwara-Watatani algebras to the Cuntz algebra, which can be thought as the algebra of the lifted system, and we give the description of its image. Finally, if the IFS admits a left inverse we show that the Kajiwara-Watatani algebra is isomorphic to an Exel's crossed product.

研究の動機と目的

• 自己相似集合を超えた動的構造をKajiwara-Watataniの手法を用いて組み込んだ、反復関数系（IFS）からC*-代数を構成すること。
• 持ち上げられたIFS構成を用いて、Kajiwara-Watatani代数からCuntz代数への自然な単射準同型を確立すること。
• この準同型の像が自己相似集合の代数と等長写像によって生成されることを特徴づけ、交叉積構造に類似した構造を持つこと。
• IFSが左逆元をもつ場合、Kajiwara-Watatani代数がExel交叉積と同型であることを示すこと。

提案手法

• 強分離条件を満たす新たな系を $K \times \Omega$ 上に持ち上げることで、Renault-Deaconu群ガロアC*-代数構成を可能にする。
• 連続な全射 $F: \Omega \to K$ を定義し、$F \circ \sigma_i = \gamma_i \circ F$ を満たす。強分離条件のもとでこれはホメオモーティズムとなる。
• 代数 $A = C(K)$ と $E = C(\mathcal{G})$ を用いたC*-対応 $(A, E)$ の共変表現を定義し、Cuntz代数 $\mathcal{O}_d$ への準同型を導く。
• Cuntz-Pimsnerの共変性条件を用いて、誘導された準同型 $\iota \times \psi: \mathcal{O}_\Gamma \to A \rtimes_{\alpha,L} \mathbb{N}$ が適切に定義され、全射であることを確認する。
• Cuntz-Pimsner代数の一意性定理を満たす円作用 $\beta_z$ を交叉積に導入し、準同型の単射性を証明する。
• 左逆元が存在する場合、Kajiwara-Watatani代数がExel交叉積 $A \rtimes_{\alpha,L} \mathbb{N}$ と同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IFSに付随するKajiwara-Watatani C*-代数が、Cuntz代数に単射的に埋め込まれる条件は何か？
• RQ2 この単射準同型の像は、自己相似集合と等長写像を用いてどのように記述できるか？
• RQ3 持ち上げられたIFS構成は、Kajiwara-Watatani代数とCuntz代数との間の接続をどのように促進するか？
• RQ4 Kajiwara-Watatani代数がExel交叉積として記述可能となる条件は何か？
• RQ5 移行作用素 $L$ は、交叉積構造を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• IFSが有限分岐条件またはオープン集合条件を満たす場合、Kajiwara-Watatani代数はCuntz代数 $\mathcal{O}_d$ に単射的に埋め込まれる。
• 準同型の像は $C(K)$ と等長写像 $S$ によって生成され、自己相似集合上の交叉積構造に類似した構造をとる。
• 準同型 $\iota \times \psi: \mathcal{O}_\Gamma \to A \rtimes_{\alpha,L} \mathbb{N}$ は全射かつ単射であり、$\mathcal{O}_\Gamma$ と交叉積との間に同型が存在することを示す。
• IFSが左逆元をもつ場合、Kajiwara-Watatani代数はExel交叉積 $A \rtimes_{\alpha,L} \mathbb{N}$ と同型である。
• 証明は、交叉積に定義された円作用 $\beta_z$ が、Cuntz-Pimsner代数の一意性定理の条件を満たしていることに依拠している。
• 準同型の構成は自然であり、IFSに付随するC*-対応の共変表現から生じる。