[論文レビュー] C*-algebras of separated graphs

Pere Ara, K. R. Goodearl|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、頂点に基づくエッジ分割を含むようにグラフC*-代数理論を拡張する、分離グラフ $(E,C)$ のC*-代数を導入し、分析する。全射および還元済C*-代数 $C^*(E,C)$ と $C^*_{\text{red}}(E,C)$ を構成し、隣接行列を用いたK理論の公式を確立し、McClanahanの $U^{ ext{nc}}_{m,n}$ K理論に関する予想を確認する。主な結果として、隣接行列によって定義される写像の余核と核を用いた $K_0$ および $K_1$ の完全な記述が得られる。

ABSTRACT

The construction of the C*-algebra associated to a directed graph $E$ is extended to incorporate a family $C$ consisting of partitions of the sets of edges emanating from the vertices of $E$. These C*-algebras $C^*(E,C)$ are analyzed in terms of their ideal theory and K-theory, mainly in the case of partitions by finite sets. The groups $K_0(C^*(E,C))$ and $K_1(C^*(E,C))$ are completely described via a map built from an adjacency matrix associated to $(E,C)$. One application determines the K-theory of the C*-algebras $U^{ ext{nc}}_{m,n}$, confirming a conjecture of McClanahan. A reduced C*-algebra $\Cstred(E,C)$ is also introduced and studied. A key tool in its construction is the existence of canonical faithful conditional expectations from the C*-algebra of any row-finite graph to the C*-subalgebra generated by its vertices. Differences between $\Cstred(E,C)$ and $C^*(E,C)$, such as simplicity versus non-simplicity, are exhibited in various examples, related to some algebras studied by McClanahan.

研究の動機と目的

• 分離グラフ $(E,C)$ を用いて、頂点に基づくエッジ分割を組み込むことで、グラフC*-代数を一般化すること。
• 有限分離グラフに対して、全射および還元済C*-代数 $C^*(E,C)$ と $C^*_{\text{red}}(E,C)$ の理論を構築すること。
• 隣接行列から導かれる写像を用いて、$C^*(E,C)$ の $K_0$ および $K_1$ の完全な記述を提供すること。
• 新しい枠組みを用いて $U^{\text{nc}}_{m,n}$ のK理論を計算することで、McClanahanの予想を解決すること。
• 特に単純性とイデアル構造の観点から、全射および還元済C*-代数の違いを調査すること。

提案手法

• 分離グラフ $(E,C)$ を、各頂点からのエッジを族 $C$ で分割する有向グラフ $E$ として定義する。
• グラフと分割関係を満たす、ユニバーサル*-代数としてのレヴィットパス代数 $L(E,C)$ を構成する。
• $C^*(E,C)$ を $L(E,C)$ のユニバーサルC*-包とし、$C^*_{\text{red}}(E,C)$ を還元ノルム構成によって定義する。
• 行有限グラフに対して、$C^*(E) \to C_0(E^0)$ への自然な忠実な条件付き期待値 $\Phi_E$ を導入し、還元代数の構成を可能にする。
• アマルガメートド自由積理論を用いて、特に有限分離の場合に $C^*(E,C)$ および $C^*_{\text{red}}(E,C)$ の構造を分析する。
• $K_0$ および $K_1$ を、$A$ を $(E,C)$ の隣接行列とするとき、$\text{id} - A$ の余核および核を用いて導出し、K理論の完全な記述に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、分離グラフを用いて、頂点に基づくエッジ分割を含むようにグラフC*-代数を一般化できるか？
• RQ2 $C^*(E,C)$ および $C^*_{\text{red}}(E,C)$ のイデアル構造は何か？ また、$E^0$ の健全な $C$-飽和部分集合とどのように関係するか？
• RQ3 $C^*(E,C)$ のK理論は、グラフと分割から導かれる写像を用いて完全に記述可能か？
• RQ4 還元C*-代数 $C^*_{\text{red}}(E,C)$ は、全射代数が単純でない場合でも単純性を示すことがあるか？
• RQ5 自然な写像 $M(E,C) \to \mathcal{V}(C^*(E,C))$ は、予想されているように同型であるか？

主な発見

• Theorem 5.2 で述べられるように、$C^*(E,C)$ のK理論は、分離グラフ $(E,C)$ の隣接行列 $A$ に対して、写像 $\text{id} - A$ の余核および核によって完全に決定される。
• $U^{\text{nc}}_{m,n}$ のC*-代数のK理論が計算され、McClanahanの予想と一致することが確認され、$K_0$ は $[e_{11}]$ で生成される無限巡回群である。
• 特定の有限分離グラフ、特にBrownおよびMcClanahanの例に関連するものに対して、還元C*-代数 $C^*_{\text{red}}(E,C)$ は単純である。
• $C^*_{\text{red}}(E,C)$ が単純であるが $C^*(E,C)$ が単純でない例が存在する。これは、健全な $C$-飽和部分集合の非自明なラティスの存在に起因する。
• すべての行有限グラフに対して、自然な忠実な条件付き期待値 $\Phi_E: C^*(E) \to C_0(E^0)$ が存在し、これにより $C^*_{\text{red}}(E,C)$ の構成が可能になる。
• 自然な写像 $M(E,C) \to \mathcal{V}(C^*(E,C))$ は、非分離グラフに対して既知の結果を拡張する形で、同型であると予想されている。