[論文レビュー] C*-groupoides quantiques et inclusions de facteurs : Structure symetrique et autodualite, action sur le facteur hyperfini de type II1

Marie-Claude David|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限深さ・有限指数の型II₁因子の包含関係に付随する量子C*-群コアのための対称的双対性を導入し、新たな対合の定義を必要としない。すべての有限次元で連結な量子C*-群コアが、擬似型II₁因子に外的作用をもつことを証明し、有限量子C*-群コアを正則な量子C*-群コアへ変形する手法を提案する。この枠組みにおいて、Temperley-Lieb代数が自己双対であることが示された。

ABSTRACT

Let N_0 \subset N_1 a depth 2, finite index inclusion of type II1 factors and N_0 \subset N_1 \subset N_2 \subset N_3 ... the corresponding Jones tower. D. Nikshych et L. Vainerman built dual structures of quantum C*-groupoid on the relative commutants N'_0 \cap N_2 et N'_1 \cap N_3. Here I define a new duality which allows a symetric construction without changing the involution. So the Temperley-Lieb algebras are selfdual quantum C*-groupoids and the quantum C*-groupoids associated to a finite depth finite index inclusion can be choosen selfdual. I show that every finite-dimensional connexe quantum C*-groupoid acts outerly on the type II1 hyperfinite factor. In the light of this particular case, I propose a deformation of any finite quantum C*-groupoid to an regular finite quantum C*-groupoid. In the appendix, a new construction of the factors on which two dual regular finite quantum C*-groupoids act is given. The finite quantum C*-groupoids obtained from the built tower are isomorphic to the initial ones.

研究の動機と目的

• 部分因子から生じる量子C*-群コアの既存の双対構成における非対称性を解消すること。
• 包含関係の相対可換子の間の対称的双対性を、対合を変更せずに確立すること。
• すべての有限次元で連結な量子C*-群コアが、擬似型II₁因子に外的作用をもつことを証明すること。
• 任意の有限量子C*-群コアを正則なものに変形する手続きを提案すること。
• 新しい双対枠組みにおいて、Temperley-Lieb代数が自己双対な量子C*-群コアであることを示すこと。

提案手法

• 型II₁因子のジョーンズタワーにおける相対可換子 $N'_0 \cap N_2$ と $N'_1 \cap N_3$ 間の新しい双対構造を導入する。
• $N_1$ 上のトレース $tr$ と、$\langle a,b\rangle = [N_1:N_0]^2 \, tr(af_2f_1Hb)$ で定義される修正されたペアリングを用い、対合を変更せずに双対性を定義する。
• 弱ホップ代数およびカック代数の理論を用いて、群コア上での余積、余単位、反作用の構造を定義する。
• 量子群コア $A$ が因子 $M_1$ に作用することを実現するためのクロス積 $M_1 \rtimes A$ を構成する。
• モジュラー自己同型および条件付き期待値を用いて、群コア代数上のハール測度とトレースを定義する。
• 新しい双対構造 $B.A$ を用いた有限量子C*-群コア $A$ の変形を提案し、正則化されたバージョンを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包含関係に付随する量子C*-群コアに対して、対合を変更せずに対称的双対性を定義できるか？
• RQ2 新しい双対枠組みにおいて、Temperley-Lieb代数は量子C*-群コアとして自己双対であるか？
• RQ3 すべての有限次元で連結な量子C*-群コアは、擬似型II₁因子に外的作用をもつのか？
• RQ4 新しい双対構成を用いて、任意の有限量子C*-群コアを正則なものに変形できるか？
• RQ5 ジョーンズタワーの文脈において、新しい双対性の下で余積、余単位、反作用の構造はどのように振る舞うか？

主な発見

• 新しい双対性により、対合を変更せずに $N'_0 \cap N_2$ および $N'_1 \cap N_3$ における量子C*-群コアの対称的構成が可能となった。
• 提案された双対性の下で、Temperley-Lieb代数が自己双対な量子C*-群コアであることが示された。
• すべての有限次元で連結な量子C*-群コアが、擬似型II₁因子に外的作用をもつことが証明された。
• 任意の有限量子C*-群コアを双対構造を介して正則化する変形手続きが構成された。
• ジョーンズタワーにおける相対可換子は、新しい双対性のもとで元の量子C*-群コア構造をそのまま継承し、一貫性が保たれた。
• この構成により、双対群コアがクロス積を介して作用する擬似型II₁因子のジョーンズタワーが得られ、代数的構造が保存された。