[論文レビュー] C-independence and c-rank of posets and lattices

Zur Izhakian, John Rhodes|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ブール行列およびスーパー・ブール行列表現を用いて、有限の半順序集合およびラティスにおけるc-独立性とc-ランクを導入し、有限ラティスのc-ランクがその高さに等しいことを確立している。c-独立な部分集合は最大鎖およびハッセ図の分割と関連づけられ、チャーマー系や遺伝的集合族に対する部分的クロスセクションおよびラティスの完備化を通じて応用がなされている。

ABSTRACT

Continuing with the authors concept (and results) of defining independence for columns of a boolean and superboolean matrix, we apply this theory to finite lattices and finite posets, introducing boolean and superboolean matrix representations for these objects. These representations yield the new concept of c-independent subsets of lattices and posets, for which the notion of c-rank is determined as the cardinality of the largest c-independent subset. We characterize this c-rank and show that c-independent subsets have a very natural interpretation in term of the maximal chains of the Hasse diagram and the associated partitions of the lattice. This realization has direct important connections with chamber systems.

研究の動機と目的

• ブール行列およびスーパー・ブール行列からの独立性の概念を、有限の半順序集合およびラティスへと拡張すること。
• 行列表現を用いて、半順序集合およびラティスの不変量としてc-独立性およびc-ランクを定義すること。
• c-独立な部分集合をハッセ図の最大鎖および分割の観点から特徴づけること。
• ラティス構造を通じてc-独立性とチャーマー系との関係を確立すること。
• ブール表現および閉包作用素を用いて、遺伝的集合族および抽象的単体複体へとフレームワークを応用すること。

提案手法

• 半順序集合およびラティスを、半環SB上のスーパー・ブール行列で表現し、成分を{0, 1, 1^ν}にとる。
• 部分行列のパーマネントに基づいてc-独立性を定義し、非特異行列（パーマネント = 1）が独立性を示す。
• ラティスのデデキンド＝マクネイル完備化を構成し、分割および部分的クロスセクションを定義する。
• 鎖に対するプッシュ操作を用いてc-独立な部分集合を保存し、それらをラティス構造に関連づける。
• ブール加群および閉包作用素を用いて、ブール行列表現を閉集合のラティスに変換する。
• 得られた分割の部分的クロスセクションが、元の遺伝的集合族の要素とちょうど一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列理論からの独立性の概念を、有限の半順序集合およびラティスへとどのように一般化できるか。
• RQ2 c-独立な部分集合の構造的解釈は、最大鎖およびハッセ図の観点からどのように得られるか。
• RQ3 有限ラティスのc-ランクは、その高さおよび鎖構造とどのように関係するか。
• RQ4 遺伝的集合族のブール表現は、閉包および分割といったラティス論的構成から再構成可能か。
• RQ5 どのような条件下で、遺伝的集合族がブール行列表現をもつのか。

主な発見

• 有限ラティスのc-ランクは、定理4.5で示されるように、その高さに等しい。
• ラティスのc-独立な部分集合は、ハッセ図の最大鎖と一対一対応する。
• 鎖に対するプッシュ操作はc-独立性を保存する。これは定義4.7で形式化されている。
• ブール行列表現の閉包は、部分的クロスセクションが元の遺伝的集合族を再現するラティス構造を生成する。
• 点置換性を満たすすべての遺伝的集合族がブール表現をもつわけではない。これは定理5.6で反例により示されている。
• 拡張されたブール行列から構成された閉集合のラティスは、元の構造のデデキンド＝マクネイル完備化と同型である。