[論文レビュー] Calabi-Yau Deformations and Negative Cyclic Homology

Michel Van den Bergh, Louis de Thanhoffer de Völcsey|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Ginzburg Calabi-Yau代数の変形理論を制御するDG-Lie代数を確立し、そのホモロジーが負巡回ホモロジーと同型であることを示している。このDG-Lie代数から誘導されるLie括弧がMenichiのストリングトポロジー括弧と一致すること、および変形の障害が周期的巡回ホモロジーへの写像によって消えること、特に $ d \leq 3 $ のとき変形が障害なく成立することを証明している。構成により、DG-Lie代数とシフトされた負巡回複体の間の準同型が得られ、変形理論と巡回ホモロジーの間の明確な関係が確立される。

ABSTRACT

In this paper we relate the deformation theory of Ginzburg Calabi-Yau algebras to negative cyclic homology. We do this by exhibiting a DG-Lie algebra that controls this deformation theory and whose homology is negative cyclic homology. We show that the bracket induced on negative cyclic homology coincides with Menichi's string topology bracket. We show in addition that the obstructions against deforming Calabi-Yau algebras are annihilated by the map to periodic cyclic homology. In the commutative we show that our DG-Lie algebra is homotopy equivalent to $(T^{\operatorname{poly}}[[u]],-u \operatorname{div})$.

研究の動機と目的

• 固定された自己双対性同型 $ \eta $ を備えた $ d $-Calabi-Yau代数の変形理論を制御するDG-Lie代数を構成すること。
• DG-Lie代数とシフトされた負巡回複体の間の準同型を構成することで、この変形理論を負巡回ホモロジーに関連付けること。
• この構成によって誘導される負巡回ホモロジー上のLie括弧が、Menichiのストリングトポロジー括弧と一致することを示すこと。
• 変形の障害を分析し、それが周期的巡回ホモロジーへの写像によって消えることを証明すること。
• 可換な場合に、DG-Lie代数と $ (T^{\text{poly}}[[u]], -u\operatorname{div}) $ の間にホモトピー同値が存在することを確立すること。

提案手法

• Hochschildコチェーン複体と $ A $ の負巡回チェーン複体のねじれた半直積として、DG-Lie代数 $ \mathfrak{D}^\bullet(A,\eta) $ を構成する。
• 標準的なHochschild変形理論に関連する、$ \eta $-構造を無視する写像 $ \phi: \mathfrak{D}^\bullet(A,\eta) \to \overline{\mathfrak{C}}^\bullet(A) $ を定義する。
• DG-Lie代数と負巡回複体の間の準同型 $ \mathfrak{D}^\bullet(A,\eta) \xrightarrow{\cong} \Sigma^{-d+1} \operatorname{CC}^{-}_\bullet(A) $ を確立し、DG-Lie代数を負巡回ホモロジーに関連付ける。
• Maurer-Cartan形式的論法を用いて、$ \mathfrak{D}^\bullet(A,\eta) \otimes_k m $ の解が $ (A,\eta) $ の変形に対応することを示し、本質的全射性および射の全射性を示す。
• コデリバティブと $ L_\infty $-準同型の比較により、負巡回ホモロジー上の誘導されたLie括弧がMenichiのストリングトポロジー括弧と一致することを証明する。
• 可換な場合に、$ \mathfrak{D}^\bullet(A,\eta) $ が $ (T^{\text{poly}}[[u]], -u\operatorname{div}) $ とホモトピー同値であることを示し、ここで $ \operatorname{div} $ は体積形式 $ \eta $ に関連する発散作用素である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ginzburg Calabi-Yau代数の変形理論は、DG-Lie代数によってどのように制御できるか？
• RQ2 このDG-Lie代数のホモロジーと負巡回ホモロジーの正確な関係は何か？
• RQ3 DG-Lie代数構造から誘導される負巡回ホモロジー上のLie括弧は、Menichiのストリングトポロジー括弧と一致するか？
• RQ4 Calabi-Yau代数の変形の障害は、周期的巡回ホモロジーへの写像によって消えるか？
• RQ5 可換な場合に、DG-Lie代数 $ \mathfrak{D}^\bullet(A,\eta) $ は $ (T^{\text{poly}}[[u]], -u\operatorname{div}) $ とホモトピー同値か？

主な発見

• 固定された双対性 $ \eta $ を備えた $ d $-Calabi-Yau代数の変形理論を制御するDG-Lie代数 $ \mathfrak{D}^\bullet(A,\eta) $ が存在し、関連するMaurer-Cartan群作用は本質的に全射的かつ射の全射的である。
• 準同型 $ \mathfrak{D}^\bullet(A,\eta) \xrightarrow{\cong} \Sigma^{-d+1} \operatorname{CC}^{-}_\bullet(A) $ が存在し、変形空間の接空間が $ \operatorname{HC}^{-}_{d-2}(A) $ であることを示唆する。
• DG-Lie代数構造から誘導される負巡回ホモロジー $ \operatorname{HC}^{-}_\bullet(A) $ 上のLie括弧は、Menichiのストリングトポロジー括弧と同型である。
• Calabi-Yau代数としての $ A $ の変形の障害は、写像 $ \operatorname{HC}^{-}_{d-3}(A) \to \operatorname{HC}^{\text{per}}_{d-3}(A) $ の核に属するため、この写像が単射であれば障害は消える。
• $ d \leq 3 $ のとき、写像 $ \operatorname{HC}^{-}_{d-3}(A) \to \operatorname{HC}^{\text{per}}_{d-3}(A) $ は単射であるため、$ A $ のCalabi-Yau代数としての変形は障害なく成立する。
• 可換な場合に、$ \mathfrak{D}^\bullet(A,\eta) $ は $ (T^{\text{poly}}[[u]], -u\operatorname{div}) $ とホモトピー同値であり、ここで $ \operatorname{div} $ は体積形式 $ \eta $ に関連する発散作用素である。