[論文レビュー] Formality of the homotopy calculus algebra of Hochschild (co)chains

Vasiliy Dolgushev, Dmitry Tamarkin+1 more|ArXiv.org|Jul 31, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、特性がゼロである体 $\mathbb{K}$ 上の任意の滑らかな代数的多様体 $X$ に対して、構造層 $\mathcal{O}_X$ の正規化 Hochschild (co)チェインの層上のホモトピー微分積分法代数構造の形式的性質を確立する。Kontsevich-Soibelman の円筒上の小さな円板の多元法にまつわる形式的定理を応用して、ホモトピー微分積分法代数が多様体のベクトル場と微分形式の厳密な微分積分法代数に quasi-isomorphic であることを証明する。これは Willwacher の循環的形式的定理を一般化し、Caldararu の予想の重要なケースを確認する。

ABSTRACT

The Kontsevich-Soibelman solution of the cyclic version of Deligne's conjecture and the formality of the operad of little discs on a cylinder provide us with a natural homotopy calculus structure on the pair (C^*(A), C_*(A)) ``Hochschild cochains + Hochschild chains'' of an associative algebra A. We show that for an arbitrary smooth algebraic variety X with the structure sheaf O_X the sheaf (C^*(O_X), C_*(O_X)) of homotopy calculi is formal. This result was announced in paper [29] by the second and the third author.

研究の動機と目的

• Hochschild コホモロジーに定義されたホモトピー Gerstenhaber 代数の形式的性質を、Hochschild コホモロジーとチェインのペアに対する完全なホモトピー微分積分法代数構造へ拡張すること。
• 滑らかな代数的多様体 $X$ の構造層 $\mathcal{O}_X$ に対するホモトピー微分積分法の層が形式的である、すなわち厳密な微分積分法代数と quasi-isomorphic であることを確立すること。
• Willwacher の $\Lambda\mathbf{Lie}^+_{\delta}$-代数に対する循環的形式的定理を、特性がゼロの任意の体上の滑らかな多様体へ一般化すること。
• 循環的形式的定理の予想とその Hochschild (co)ホモロジーへの応用のための層論的基盤を提供すること。

提案手法

• Kontsevich-Soibelman の多元法と円筒上の小さな円板の多元法を用いて、結合的代数の正規化 Hochschild (co)チェイン複体にホモトピー微分積分法構造を構成する。
• 円筒上の小さな円板の多元法に対する形式的定理を適用し、ホモトピー微分積分法を多様体のベクトル場と微分形式の標準的微分積分法の変形として実現する。
• 複体のハイパーコホモロジーを用いて、ホモトピー微分積分法の層 $ (C^{\bullet}_{\text{norm}}(\mathcal{O}_X), C_{\bullet}^{\text{norm}}(\mathcal{O}_X)) $ と厳密な微分積分法の層 $ (V^{\bullet}_X, \Omega^{-\bullet}_X) $ の間の quasi-isomorphism を構成する。
• Gerstenhaber 代数のモリタ同倣と包あらわし代数の構成を用いて、ホモトピー微分積分法とその基礎となる代数的構造との関係を確立する。
• Kontsevich-Soibelman の多元法とシリンダー多元法のホモロジーに関する [23] の結果を活用し、必要な形式的同型を確立する。
• 複素多様体および実滑らか多様体に適用するため、$\mathcal{O}_X$ をそれぞれ正則関数の層または $C^\infty$ 関数の層に置き換えることで証明を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性がゼロである体上の滑らかな代数的多様体 $X$ に対して、$\mathcal{O}_X$ の Hochschild (co)チェインにおけるホモトピー微分積分法代数構造は形式的か？
• RQ2 Hochschild (co)チェインにおける $\Lambda\mathbf{Lie}^+_{\delta}$-代数構造の形式的性質は、チェインモジュール構造を含めた完全な微分積分法代数へ拡張可能か？
• RQ3 ホモトピー微分積分法 $ (C^{\bullet}_{\text{norm}}(\mathcal{O}_X), C_{\bullet}^{\text{norm}}(\mathcal{O}_X)) $ は、多様体のベクトル場と微分形式の古典的微分積分法へ quasi-isomorphic か？
• RQ4 Willwacher の循環的形式的定理における仮定 $\mathbb{R} \subset \mathbb{K}$ は、特性がゼロの任意の体上の滑らかな多様体に対して取り除けるか？
• RQ5 Cattaneo と Felder が構成した $L_\infty$ 同型写像と、本稿で確立された形式的同型写像の関係は何か？

主な発見

• 特性がゼロである体 $\mathbb{K}$ 上の滑らかな代数的多様体 $X$ に対して、ホモトピー微分積分法の層 $ (C^{\bullet}_{\text{norm}}(\mathcal{O}_X), C_{\bullet}^{\text{norm}}(\mathcal{O}_X)) $ は形式的である。すなわち、厳密な微分積分法の層 $ (V^{\bullet}_X, \Omega^{-\bullet}_X) $ と quasi-isomorphic である。
• 形式的性質は、Willwacher の $\Lambda\mathbf{Lie}^+_{\delta}$-代数に対する循環的形式的定理を一般化し、仮定 $\mathbb{R} \subset \mathbb{K}$ を取り除いた。
• Hochschild コホモロジー $HH^{\bullet}(X)$ と Hochschild ホモロジー $HH_{\bullet}(X)$ は、$\mathbf{comm}^+$-代数として $ (H^{\bullet}(X, V^{\bullet}_X), H^{\bullet}(X, \Omega^{-\bullet}_X)) $ と同型であり、これは Caldararu の予想の重要な部分を確認する。
• 複素多様体および実滑らか多様体に対しても、$\mathcal{O}_X$ をそれぞれ正則関数の層または $C^\infty$ 関数の層に置き換えることで、結果は拡張可能である。
• 実多様体上でのホモトピー微分積分法の層の全体切断は、関係する層の軟性により、古典的微分積分法の層の全体切断と quasi-isomorphic である。
• 証明により、ホモトピー微分積分法の形式的性質と循環的形式的定理の予想との間の関係が確立され、Van den Bergh の双対性および Cattaneo-Felder の研究との深い関連性が示唆される。