[論文レビュー] Calabi-Yau manifolds with isolated conical singularities

Hans‐Joachim Hein, Song Sun|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 53被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、孤立した円錐特異点をもつ射影的カーラビ・ヤウ多様体上の一意的な特異カーラビ・ヤウ計量の漸近的挙動を確立し、特定の幾何的条件下で、各特異点の近傍においてその計量が多項式的にリッチ平坦なケーラー円錐計量に収束することを証明する。主な結果は、滑らかなカーラビ・ヤウ族の極限として得られる、非オービフォールド型の円錐特異点をもつコンactリッチ平坦多様体の初の構成である。

ABSTRACT

Let $X$ be a complex projective variety with only canonical singularities and with trivial canonical bundle. Let $L$ be an ample line bundle on $X$. Assume that the pair $(X,L)$ is the flat limit of a family of smooth polarized Calabi-Yau manifolds. Assume that for each singular point $x \in X$ there exist a Kahler-Einstein Fano manifold $Z$ and a positive integer $q$ dividing $K_Z$ such that $-\frac{1}{q}K_Z$ is very ample and such that the germ $(X,x)$ is locally analytically isomorphic to a neighborhood of the vertex of the blow-down of the zero section of $\frac{1}{q}K_{Z}$. We prove that up to biholomorphism, the unique weak Ricci-flat Kahler metric representing $2πc_1(L)$ on $X$ is asymptotic at a polynomial rate near $x$ to the natural Ricci-flat Kahler cone metric on $\frac{1}{q}K_Z$ constructed using the Calabi ansatz. In particular, our result applies if $(X, \mathcal{O}(1))$ is a nodal quintic threefold in $\mathbb{P}^4$. This provides the first known examples of compact Ricci-flat manifolds with non-orbifold isolated conical singularities.

研究の動機と目的

• 高次元のカーラビ・ヤウ多様体における孤立した円錐特異点の近傍における特異カーラビ・ヤウ計量の正確な漸近的挙動を理解すること。
• 特異点におけるグロモフ＝ハウスドルフ接空間が、既知のリッチ平坦ケーラー円錐計量と一致するかどうかを特定すること。
• 滑らかな族の極限として得られる特異カーラビ・ヤウ多様体上に弱いリッチ平坦ケーラー計量の存在と一意性を確立すること。
• ヤウによるカーラビ予想の解法を、非オービフォールド特異点をもつ特異カーラビ・ヤウ多様体へと拡張すること。
• オービフォールド型でない孤立した円錐特異点をもつコンパクトリッチ平坦多様体の、これまでに知られている初の例を提供すること。

提案手法

• 特異多様体の解像上での一意パラメータ族のケーラー計量の構成に連続法を用いる。
• 孤立した円錐特異点をもつ多様体上での重み付きソボレフおよびホルダー推移を適用し、複素モンジュ＝アンペール方程式の解の挙動を制御する。
• 球面的重み付きホルダー正則性および円錐多様体上でのポisson方程式の有界解を用いて、連続法の開性を証明する。
• 最終時刻における極限計量の接空間が、ホロモルフィックゲージにおける多項式的収束を介して、与えられたリッチ平坦ケーラー円錐計量と同型であることを示すことにより、閉性を確立する。
• カーラビのアンサッツを用いて、ケーラー・アインシュタインFano多様体上の分数次元の標準バンドルの全空間上に、モデルのリッチ平坦ケーラー円錐計量を構成する。
• 滑らかな極化カーラビ・ヤウ多様体族の平坦極限を用いて、特異多様体がモジュライ空間の境界上にあることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カーラビ・ヤウ多様体の孤立した円錐特異点におけるグロモフ＝ハウスドルフ接空間は、特異多様体およびそのラインバンドルの幾何から事前に特定可能か？
• RQ2 滑らかにできるカーラビ・ヤウ多様体に孤立した円錐特異点をもつ場合、その特異カーラビ・ヤウ計量は、多項式的収束の下で、モデルのリッチ平坦ケーラー円錐計量に漸近的に収束するか？
• RQ3 非オービフォールド型の円錐特異点をもつ特異カーラビ・ヤウ多様体が、一意的な弱いリッチ平坦ケーラー計量をもつための条件は何か？
• RQ4 孤立した円錐特異点をもつカーラビ・ヤウ多様体の特異点における接空間は、カーラビアンサッツによって構成されたリッチ平坦ケーラー円錐計量と同型か？
• RQ5 特異カーラビ・ヤウ計量の漸近的挙動は、ケーラー・アインシュタインFano多様体上の分数次元標準バンドルの吹き下ろしの幾何に基づいて記述可能か？

主な発見

• 特異カーラビ・ヤウ多様体上の一意的な弱いリッチ平坦ケーラー計量は、各孤立した円錐特異点の近傍で、多項式的収束の下でモデルのリッチ平坦ケーラー円錐計量に収束する。
• 各特異点における接空間は、ケーラー・アインシュタインFano多様体 $Z$ に対する $\frac{1}{q}K_Z$ の全空間上にカーラビアンサッツによって構成されたリッチ平坦ケーラー円錐計量と同型である。
• 漸近的モデルは、特異点の局所解析的型によって一意に定まる。この型は、$\frac{1}{q}K_Z$ のゼロ切断の吹き下ろしの頂点と同型である。
• 結果は、$\mathbb{P}^4$ 内のノード的5次3次元多様体に適用され、非オービフォールド型の孤立した円錐特異点をもつコンパクトリッチ平坦多様体の、これまでに知られている初の例を提供する。
• 収束は、多項式的減衰率をもつホロモルフィックゲージで確立され、特異集合近傍における計量の挙動を正確に制御することを保証する。
• 証明は連続法に依拠しており、重み付きソボレフおよびホルダー推移を用いて、円錐特異点上での開性と閉性が確立されている。