[論文レビュー] Calculating maps between n-categories

Carlos Simpson|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Tamsamaniの$n$-precatモデルカテゴリにおける自由コフibrント解体を用いて、$n$-圏間のホモトピー類の計算の明示的で具体的な方法を提示する。元の$n$-圏$A$を自由コフibrント解体$F^\cdot$に置き換えることで、$Ho(n\text{-}Cat)$におけるホモトピー類$[A,B]$の集合は、$F^1 \to B$と$F^0 \to B$の写像の余等化子として計算される。ホモトピー同値は$F^1$への拡張によって定義される。主な貢献は、$n$-圏ホモトピー理論における導来写像空間の実用的で、直感的な計算手法の確立である。

ABSTRACT

We give an explicit way of calculating the set of homotopy classes of morphisms from a Tamsamani n-category A to another one B. This calculation uses a Reedy-cofibrant cosimplicial resolution of A, using a new notion of ``free cofibration'' of n-precats. The free cofibrations of n-precats seem to be the analogue for n-categories of the Bousfield-Kan cofibrations in the theory of diagrams.

研究の動機と目的

• Dwyer-Kan局域化における抽象的なファイブレーション置換を避けることにより、$n$-圏間のホモトピー類の計算のための実用的で明示的な方法を提供すること。
• 高次圏理論における$n$-圏写像空間に対する、直感的で実用的な計算ツールの欠如に応えること。
• 自由コフibrント解体を用いることで、抽象的な閉じたモデルカテゴリの代替として計算可能な代替手段を確立すること。
• ホモトピー圏$Ho(n\text{-}Cat)$が、自由コフibrント解体上の余等化子構成によって計算可能であることを示すこと。

提案手法

• $n$-precatの圏内で、$F^\cdot \to A$を自由コフibrント解体とする。ここで$F^0$は自由コフibrantであり、$F^0 \sqcup F^0 \to F^1$も自由コフibrantである。
• $nPC$上のReedyモデル構造を用いて、$F^\cdot$がReedy-コフibrントであることを保証し、導来写像空間の計算を可能にする。
• Dwyer-Kan局域化$L(n\text{-}Cat)$と同値関係$\pi_0 \text{Hom}_{L(n\text{-}Cat)}(A,B) \cong \text{Hom}_{Ho(n\text{-}Cat)}(A,B)$を適用する。
• 自由コフibrレーションの上昇性を用いて、写像$F^0 \to B$のホモトピー同値を、$F^1 \to B$への拡張可能性として定義する。
• 2つの写像$F^0 \to B$がホモトープであるための必要十分条件は、それらの直和が$F^1 \to B$に拡張可能であることであることを示し、$F^2$を用いたチェーン合成の議論により証明する。
• 自由コフibrレーションに沿った、$nPC$におけるファイブレーション置換の上昇性を用いることで、構成が正しいホモトピー類を計算することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、$n$-圏間のホモトピー類の集合を、明示的かつアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ2 自由コフibrント解体が、$Ho(n\text{-}Cat)$における導来写像空間の計算において、ファイブレーション置換の代わりに使用可能か？
• RQ3 2つの写像$F^0 \to B$が$Ho(n\text{-}Cat)$でホモトープであるための正確な条件は何か？
• RQ4 写像$F^0 \to B$間のホモトピー関係は、$F^1 \to B$への単一の拡張の存在と同値か？
• RQ5 $F^1 \rightrightarrows F^0$の余等化子は、$\text{Hom}_{Ho(n\text{-}Cat)}(A,B)$の計算に用いることができるか？

主な発見

• ホモトピー圏$Ho(n\text{-}Cat)$における$A$から$B$へのホモトピー類の集合は、$F^\cdot \to A$が自由コフibrント解体であるとき、$\pi_0 \text{Hom}_{n\text{-}Cat}(F^\cdot, B)$と同型である。
• 写像$A \to B$のホモトピー類は、$F^0 \rightrightarrows F^1 \to A$の図式における2つの面写像$F^1 \rightrightarrows F^0$の余等化子として計算され、$F^0$は自由コフibrantである。
• 2つの写像$F^0 \to B$がホモトープであるための必要十分条件は、それらの直和が$F^1 \to B$に拡張可能であることである。これにより、ホモトピーの1段階基準が確立される。
• ファイブレーション置換を避けるために自由コフibrント解体を用いることで、標準的なモデルカテゴリのアプローチよりも明示的かつ計算可能な代替手段が得られる。
• 自由コフibrレーションがファイブレーション置換に対してホモトピーに沿った上昇性を満たすため、この構成は正しく動作することが保証される。
• 同値性に関して安定である：$F^0 \to A$と$F^1 \to A$が$n$-圏の同値であれば、この構成は正しい$Ho(n\text{-}Cat)$-準同型集合を計算する。