[論文レビュー] Calibrating Multivariate Lévy Processes with Neural Networks

Kailai Xu, Eric Darve|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Probability and Risk Models参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、深層ニューラルネットワークを用いてLévy密度を近似することで、多次元Lévy過程の非パrametricなキャリブレーションを実現するニューラルネットワークベースの手法を提案する。特徴関数は数値積分により推定され、経験的特徴関数とモデル特徴関数の乖離を最小化する。この手法は、特に高次元で不連続なLévy密度を推定する際、ピecewise線形関数や径路基底関数よりも鋭い遷移を捉え、ノイズに強く、優れた性能を示す。

ABSTRACT

Calibrating a Lévy process usually requires characterizing its jump distribution. Traditionally this problem can be solved with nonparametric estimation using the empirical characteristic functions (ECF), assuming certain regularity, and results to date are mostly in 1D. For multivariate Lévy processes and less smooth Lévy densities, the problem becomes challenging as ECFs decay slowly and have large uncertainty because of limited observations. We solve this problem by approximating the Lévy density with a parametrized functional form; the characteristic function is then estimated using numerical integration. In our benchmarks, we used deep neural networks and found that they are robust and can capture sharp transitions in the Lévy density. They perform favorably compared to piecewise linear functions and radial basis functions. The methods and techniques developed here apply to many other problems that involve nonparametric estimation of functions embedded in a system model.

研究の動機と目的

• 不連続でノイズの多いLévy密度を有する多次元Lévy過程の非パrametricキャリブレーションの課題に取り組む。
• 高次元および滑らかでない密度に対して、経験的特徴関数のデコンボリューションに起因する限界を克服する。
• 低頻度観測下でのLévy密度近似において、ニューラルネットワーク、ピecewise線形関数、径路基底関数の性能を評価する。
• モデル特徴関数と経験的特徴関数を一致させる勾配ベースの最適化フレームワークを構築する。

提案手法

• ニューラルネットワークを主な候補として、パラメトリック関数形 νθ(x) を用いてLévy密度 ν(x) を近似する。
• Lévy-Khintchine表現を用い、ノードと重みの集合に対して数値台形則を用いて特徴関数 φθ(ξ) を推定する。
• 刻み幅が等しい離散的観測から、増分過程の経験的特徴関数 ˆφn(ξ) を計算する。
• コロケーション点 ξi における ˆφn(ξi) と φθ(ξi) の平均二乗誤差を勾配ベースの最適化により最小化する最小化問題を定式化する。
• 汎用近似性、ノイズへのロバストネス、不連続性の捉え込み能力を備えたため、深層ニューラルネットワークを関数形として採用する。
• 合成的な2次元Lévy過程と実際の株価市場のリターン対数変動率に本手法を適用し、性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 深層ニューラルネットワークは、従来の手法が失敗する高次元で不連続なLévy密度を効果的に近似できるか？
• RQ2 ノイズと限られたデータ下での非パrametricなLévy密度推定において、ニューラルネットワークの性能はピecewise線形関数や径路基底関数と比べてどの程度優れているか？
• RQ3 本手法は、特に不連続性付近での急激な遷移をどの程度正確に捉えることができるか？
• RQ4 有限サンプルサイズに起因する経験的特徴関数のノイズに対して、本手法はロバスト性を保っているか？
• RQ5 本フレームワークは、実際の金融データに成功裏に適用可能であり、多次元資産リターンにおけるジャンプダイナミクスを検出できるか？

主な発見

• ニューラルネットワークは、特に2次元の切断正規分布のような不連続なケースにおいて、ピecewise線形関数や径路基底関数よりも鋭い遷移を捉える点で優れている。
• 2次元の切断正規Lévy密度のケースでは、ニューラルネットワークは軸上での明確な境界を正確に回復するが、ピecewise線形関数はアーチファクトを生じさせ、径路基底関数は不連続性をなめらかに処理してしまう。
• 1000件の観測で、ニューラルネットワークは高いノイズ下でも安定した性能を維持するが、径路基底関数やピecewise線形関数は顕著な性能低下を示す。
• 実際の株価市場の応用において、ペアワイズの α 指数は1.1から1.5の範囲にあり、リターンにジャンプが存在することが示唆され、キャリブレートされた Γθ(s) は4つの主要なジャンプ方向を明らかにした。
• 本手法はEOGとMSFTリターンの間で方向性のあるジャンプ傾向を正しく同定し、キャリブレートされた Γθ(s) 関数に4つの明確なピークを示した。これにより、モデルが構造的ジャンプダイナミクスを検出できる能力が裏付けられた。