[論文レビュー] Cancellation theorem for Grothendieck-Witt-correspondences and Witt-correspondences

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2を除く特徴を持つ無限大の完全体上でのGrothendieck-Witt対応およびWitt対応のキャンセレーション定理を証明し、有効GW-モチーフから全GW-モチーフへの${\mathbb{G}_m}$-安定化ファンクターが完全忠実であることを確立する。これにより、モチーフ的Ext群とGW-転送を持つホモトピー的不変層のNisnevichコホモロジーの間に自然な同型が得られる。

ABSTRACT

The cancellation theorem for Grothendieck-Witt-correspondences and Witt-correspondences between smooth varieties over an infinite prefect field $k$, $char k eq 2$, is proved, the isomorphism $$Hom_{\mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}}(A^\bullet,B^\bullet) \simeq Hom_{\mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}}(A^\bullet(1),B^\bullet(1)),$$ for $A^\bullet,B^\bullet\in \mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}(k)$ in the category of effective Grothendieck-Witt-motives constructed in \cite{AD_DMGWeff} is obtained (and similarly for Witt-motives). This implies that the canonical functor $Σ_{\mathbb G_m^{\wedge 1}}^\infty\colon \mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}(k) o \mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)$ is fully faithful, where $\mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)$ is the category of non-effective GW-motives (defined by stabilization of $\mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}(k)$ along $\mathbb G_m^{\wedge 1}$) and yields the main property of motives of smooth varieties in the category $\mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)$: $$ Hom_{\mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)}(M^{GW}(X), Σ_{\mathbb G_m^{\wedge 1}}^\infty\mathcal F[i]) \simeq H^i_{Nis}(X,\mathcal F) ,$$ for any smooth variety $X$ and homotopy invariant sheave with GW-transfers $\mathcal F$ (and similarly for $\mathbf{DM}^\mathrm{W}(k)$).

研究の動機と目的

• 2を除く特徴を持つ体上の有効Grothendieck-Witt-モチーフおよびWitt-モチーフのカテゴリにおいてキャンセレーション定理を確立すること。
• ${\mathbb{G}_m}$-安定化ファンクター$\Sigma_{{\mathbb{G}_m}^{\wedge 1}}^{\infty}$が完全忠実であることを証明し、無限懸垂におけるGW-モチーフのカテゴリが良好に振る舞うことを保証すること。
• $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$におけるモチーフ的Ext群が、GW-転送を持つホモトピー的不変層のNisnevichコホモロジーを計算することを示すこと。
• Voevodsky-Suslin法をGW-およびWitt-モチーフに拡張し、滑らかな多様体のモチーフに対する明示的なファイブラント置換を提供すること。
• $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)_{\mathbb{Q}} \simeq \mathcal{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$の予想を支持することにより、有理化後にGW-モチーフを安定モチーフホモトピーカテゴリと結びつけること。

提案手法

• 滑らかな多様体上のGW-対応のNisnevich層の$\mathbb{A}^1$-局所化として、カテゴリ$\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}_{\mathrm{eff}}(k)$を構成する。
• GW-対応を、$k[X] \times k[Y]$上の有限生成射影加群のGrothendieck-Witt群として定義し、双対性同型を満たす二次形式を含む。
• Voevodsky-Suslin法を適用：層化、$\mathbb{A}^1$-局所化、$\mathbb{P}^1$-局所化によりカテゴリ$\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$を導出する。
• 局所化ファンクターの普遍性を用いて随伴関係を確立する：$L_{\mathrm{nis}} \dashv F_{\mathrm{GW}}$、$L_{\mathbb{A}^1} \dashv R_{\mathbb{A}^1}$、および$\Sigma_{{\mathbb{G}_m}}^{\infty} \dashv \Omega_{{\mathbb{G}_m}}^{\infty}$。
• 文献[18]の技術を応用し、双対性を持つdgカテゴリを通じて非可換モチーフへの拡張を可能にし、$\widetilde{NcS}(S)$および$DM^{\mathcal{GW}}_{nc}(k)$を定義する。
• 随伴データに基づき、dgカテゴリと双対化関手を持つカテゴリ上の前層の局所化との間の、予想的な同型を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ファンクター$\Sigma_{{\mathbb{G}_m}^{\wedge 1}}^{\infty}: \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}_{\mathrm{eff}}(k) \to \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$は完全忠実か？
• RQ2 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$における滑らかな多様体のモチーフ的コホモロジーは、GW-転送を持つホモトピー的不変層のNisnevichコホモロジーを計算するか？
• RQ3 GW-モチーフのカテゴリは、GW-対応から始めてVoevodsky-Suslin法によって構成可能か？
• RQ4 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)_{\mathbb{Q}}$は有理化された安定モチーフホモトピーカテゴリ$\mathcal{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$と同値か？
• RQ5 双対性を持つdgカテゴリ間の射だけを用いて、非可換モチーフを再構成可能か？

主な発見

• ${\mathbb{G}_m}$-安定化ファンクター$\Sigma_{{\mathbb{G}_m}^{\wedge 1}}^{\infty}: \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}_{\mathrm{eff}}(k) \to \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$は完全忠実であり、GW-対応のキャンセレーション定理を証明する。
• 任意の滑らかな多様体$X$およびGW-転送を持つホモトピー的不変層$\mathcal{F}$に対して、自然な同型$\mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}}(M^{GW}(X), \Sigma_{{\mathbb{G}_m}}^{\infty}\mathcal{F}[i]) \simeq H^{i}_{\mathrm{Nis}}(X, \mathcal{F})$が存在する。
• $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$は、$\mathcal{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$におけるファイブラント置換ファンクターを提供し、GW-モチーフを有理化された安定モチーフホモトピー理論として実現する。
• GW-対応から構成された$\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$は、CâlmâsおよびFaselの理論と同値な一般化されたモチーフ的コホモロジー理論を提供する。
• $\mathbf{DM}^{\mathrm{W}}(k)$は、Ananyevskiy, Levine, およびPaninが構成したWitt-モチーフカテゴリ$\mathbf{DM}_W(k)$と同値であると予想される。
• 随伴データに基づき、dgカテゴリと双対化関手を持つカテゴリ上の前層の局所化との間の、予想的な同型が提示される。