[論文レビュー] Canonical 2-forms on the moduli space of Riemann surfaces

Nariya Kawazumi|ArXiv.org|Aug 31, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リーマン面のモジュライ空間上における複数の正規化2形式——ウェイ・ペトロフのケーラー形式、周期写像からの第一チーン形式、アラケロフ＝グリーン関数およびジョンソン準同型から導かれる形式——をレビューする。これら2形式は、すべて同じコhomology類 $e_1$ を表すが、exact形式の差異を示し、その結果、ハイン＝リード関数や関数 $a_g$ といった2次的不変量が生じる。これらは、一次コhomologyを超えた幾何的・算術的情報を符号化する。

ABSTRACT

As was shown by Harer the second homology of ${\mathbb M}_g$, the moduli space of compact Riemann surfaces of genus $g$, is of rank 1, provided $g \geq 3$. This means a nontrivial second de Rham cohomology class on ${\mathbb M}_g$ is unique up to constant factor. But several canonical 2-forms on the moduli space have been constructed in various geometric contexts, and differ from each other. In this article we review some of constructions in order to provide materials for future research on "secondary geometry" of the moduli space ${\mathbb M}_g$.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面の genus $g \geq 3$ のモジュライ空間 $\mathbb{M}_g$ 上における複数の正規化2形式を体系的に整理・比較すること。
• これらの2形式が同じ最初のモリタ＝マウンテンクラス $e_1$ を表すが、exact形式の差異を示すことで、より深い幾何的構造が明らかになることの明確化。
• これらの2形式の差異から生じる2次的対象——ハイン＝リード関数や関数 $a_g$ など——を同定・分析すること。
• $\mathbb{M}_g$ の「2次的幾何」に関する今後の研究の基盤を提供すること、一次コhomologyを超えた枠組みを目的とする。

提案手法

• リーマン面上の双曲幾何からウェイ・ペトロフケーラー形式 $\omega_{\text{WP}}$ を構成し、それが $e_1$ を表すことを示す。
• 周期写像を用いて、シーゲル上半平面 $\mathfrak{H}_g$ からの正規化2形式を引き戻し、$e_1$ の別の代表元を得る。
• アラケロフ＝グリーン関数 $G(P_0,P_1)$ を用いて、普遍被覆 $\mathbb{C}_g$ 上の $(1,1)$-形式 $e^A$ を定義し、それが接ベクトル bundle $T_{\mathbb{C}_g/\mathbb{M}_g}$ の第一チーン類 $c_1(T_{\mathbb{C}_g/\mathbb{M}_g})$ を表すことを示す。
• ねじれモリタ＝マウンテンクラスおよびジョンソン準同型を用いて形式 $e^J$ を導入し、$m(\eta_1^H)^{\otimes 2}$ と $e^J$ の組み合わせから $e^J_1$ を構成する。
• lemma を用いて $d$-exact な $(1,1)$-形式を $\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\partial\overline{\partial}f$ の形に表現し、ハイン＝リード関数 $\beta_g$ を定義する。この関数は定数を除いて一意に定まる。
• 差 $e^A - e^J = \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)}\partial\overline{\partial}a_g$ を導出する。ここで $a_g$ は $\mathbb{M}_g$ 上の実数値関数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェイ・ペトロフ形式、周期写像形式、アラケロフに基づく形式といった、$\mathbb{M}_g$ 上の複数の正規化2形式は、すべて同じコhomology類 $e_1$ を表すが、それらの関係は何か？
• RQ2 これらの2形式の差異——特に exact 形式分解を通じて——にどのような幾何的・算術的情報が符号化されているか？
• RQ3 $\mathbb{M}_g$ 上に定義された関数 $a_g$ は、リーマン面の共形不変量として解釈可能か？その性質は何か？
• RQ4 微分形式とコhomological恒等式の相互作用から、ハイン＝リード関数 $\beta_g$ や $a_g$ といった2次的対象はどのように生じるか？
• RQ5 ファイバー統合形式 $e_1^F = \int_{\text{fiber}}(e^J)^2$ と他の2形式との正確な関係は何か？特に exact であることとコhomologyの観点から。

主な発見

• ウェイ・ペトロフケーラー形式 $\omega_{\text{WP}}$ は、最初のモリタ＝マウンテンクラス $e_1$ を表し、$\mathbb{M}_g$ 上の正規化2形式としての役割を確認する。
• 周期写像により、$\mathfrak{H}_g$ からの正規化2形式を引き戻すことができ、これも $e_1$ を表す。これは、同じコhomology類の幾何的起源を示す。
• アラケロフ＝グリーン関数 $G$ により、$\mathbb{C}_g$ 上の $(1,1)$-形式 $e^A$ が得られ、これは接バンドル $T_{\mathbb{C}_g/\mathbb{M}_g}$ のチーン類 $c_1(T_{\mathbb{C}_g/\mathbb{M}_g})$ を表す。さらに、$e^A = e^J + \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)}\partial\overline{\partial}a_g$ を満たす。
• 関数 $a_g(C) = \int_C \omega_{(1)} \cdot \widehat{\Phi}(\omega_{(1)} \wedge \omega_{(1)}) \cdot \omega_{(1)}$ は、$g \geq 2$ に対して $\mathbb{M}_g$ 上の正の実数値関数であり、モジュライ空間上の2次的不変量である。
• アラケロフ形式とジョンソン形式の差は、$e^A - e^J = \frac{1}{(2-2g)^2}(e_1^F - e_1^J)$ と与えられ、ファイバー統合形式 $e_1^F$ が2次的幾何にどのように関連するかを示す。
• ハイン＝リード関数 $\beta_g$ は $\frac{1}{12}e^J_1 - \text{Jac}^*c_1(\nabla)$ から構成され、定数を除いて一意に定まる $C^\infty$ 関数として $\mathbb{M}_g$ 上に定義される。これは、2形式の差が $d$-exact であることから生じる。