[論文レビュー] Canonical formulation of Pais-Ulhenbeck action and resolving the issue of branched Hamiltonian

Kaushik Sarkar, Nayem Sk+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次の重力理論における正準形式の不整合を解消するため、境界でリッチスカラー（R）を固定することを提案する。特に、ギブンズ＝ホロウィッツ＝ヤーク（GHY）境界項の消失と分岐するハミルトニアンの問題を解決する。ホロウィッツの形式を補助変数を用いて修正し、R固定を施すことで、高次のオシレーターと重力作用の間の一対一対応を確立し、正準変換では得られない一意な非正準ハミルトニアンを導出。これにより、高次の項がユニタリティの問題を制御する。

ABSTRACT

Shortcomings of Dirac's constrained analysis in the context of fourth order Pais-Uhlenbeck oscillator action and the appearance of badly affected phase-space Hamiltonian for a generalized fourth order oscillator action, following Ostrogradski, Dirac and Horowitz's formalism, require a viable canonical formulation. This is achieved only after fixing appropriate variables at the end points and taking care of the counter surface terms obtained from variational principle. In the process a one-to-one correspondence between different higher order theories has been established. On the other hand the issue of branched Hamiltonian appearing in the presence of velocities with degree higher than two in the Lagrangian, has not been resolved uniquely as yet. However, often such terms appear with higher order theory, gravity in particular. Here we show that canonical formulation of higher order theory takes care of the issue elegantly.

研究の動機と目的

• 高次の重力理論の正準形式における不整合を解消すること。特に、オストログラドスキーおよびデイックの方法では速度が固定されるが、GHY境界項が消失する問題を解決すること。
• 異なる高次の理論における境界条件の不一致、特に加速度と曲率の役割に関する問題を扱うこと。
• リッチスカラー（R）——加速度の代理として機能する——を境界で固定することで、高次の理論の統一的枠組みを確立すること。
• 境界でRを固定することがスカラー・テンソル同等性およびネネール対称性と整合することを示すこと。これらはRが定数でなければならないことを要請する。
• GHY項を保存し、一意で正準変換では得られないハミルトニアン形式を可能にする、修正されたホロウィッツ形式の開発

提案手法

• 速度の代わりに境界でリッチスカラー（R）を固定することで、スカラー・テンソル同等性およびネネール対称性と整合するようにすること。
• 補助変数技術を用いてホロウィッツの形式を修正し、R固定に対応可能にする。これにより高次の作用と整合する。
• 補助変数法を用いて、高次のオシレーターと重力作用の間の一対一対応を確立する正準形式を構築すること。
• 修正された形式を用いてハミルトニアンを導出し、これが標準的なオストログラドスキーまたはデイックのハミルトニアンとは正準変換によって関係しないことを示すこと。
• 高次の項（例：R²）が分岐するハミルトニアンを制御し、多価性を抑制することでユニタリティを回復させることを示すこと。
• 等方的かつ一様な宇宙論にこの形式を適用し、確率的解釈が可能なシュレーディンガー型方程式が得られることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜオストログラドスキーまたはデイックの形式で境界で速度を固定すると、高次の重力理論においてギブンズ＝ホロウィッツ＝ヤーク（GHY）境界項が消失するのか？
• RQ2 GHY項を保存し、スカラー・テンソル同等性を尊重する、高次の重力理論における一貫した正準形式をどのように確立できるか？
• RQ3 リッチスカラー（R）が境界条件として果たす役割とは何か？なぜ速度や外的曲率を固定するのよりも物理的に整合性があるのか？
• RQ4 補助変数を用いた修正されたホロウィッツ形式は、標準的定式化とは正準変換で関係しない一意なハミルトニアンを生み出せるか？
• RQ5 高次の曲率項（例：R²）は、分岐するハミルトニアンの問題をどのように制御し、量子時間発展におけるユニタリティを回復させるのか？

主な発見

• 境界でリッチスカラー（R）を固定することは、ブラックホールエントロピーと物理的に関連するギブンズ＝ホロウィッツ＝ヤーク（GHY）境界項を保存するために不可欠である。
• 本稿で提案するR境界固定法は、スカラー・テンソル同等性と整合しており、ジョルダン形式およびアインシュタイン形式の両方でRが定数でなければならない。
• 高次の重力理論におけるネネール対称性はRが定数でなければならないことを要求し、境界でRを固定することの理論的根拠を提供する。
• 修正されたホロウィッツ形式は、高次のオシレーターと重力作用の間の一対一対応を確立し、標準的定式化とは正準変換で関係しない一意なハミルトニアンを導出する。
• R²などの高次の項は多価性を抑制することで分岐するハミルトニアンを制御し、シュレーディンガー方程式における明確な確率的解釈を可能にする。
• 得られた正準形式は、半古典的近似において古典的インフレーション解の周囲に強くピークを持つことを示し、物理的妥当性を支持する。