[論文レビュー] Canonical singular hermitian metrics on relative logcanonical bundles

Hajime Tsuji|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、効効的対数特異点を持つKLT対の相対対数 canonical バンドルに、最小特異性と非負の曲率を持つ超canonical analytic Zariski分解（AZD）——つまり、最小特異性と非負曲率を持つ正則特異性を持つHermitian計量——を導入する。これらの計量は、切断の帰納的拡張と乗数イデアル層を用いて構成され、KLT対における対数多様体の不変性と、対数 canonical 系の直接像の半正定性が示され、Canonical な状況から対数的状況への結果の拡張がなされる。

ABSTRACT

This supersedes 0704.0566. We prove the invariance of logarithmic plurigenera for a projective family of KLT pairs and the adjoint line bundle of KLT line bundles. The proof uses the canonical singular hermitian metrics on relative logcanonical bundles.

研究の動機と目的

• 効効的対数 canonical 除数を持つKLT対の相対対数 canonical バンドルに、最小特異性と非負曲率を持つ canonical 特異 Hermitian 計量を定義すること。
• 相対対数 canonical バンドルに、非負曲率と最小特異性を持つ超canonical AZD（解析的 Zariski 分解）を構成すること。
• KLT 対の射影的変形における対数多様体の不変性を証明すること。
• canonical AZD の理論を canonical な状況から対数 canonical な状況へ一般化し、接続線分束を含むこと。
• 構築された計量を用いて、対数 canonical 系の直接像が局所自由であり、Griffiths 半正定計量を持つことを確立すること。

提案手法

• 滑らかな射影的多様体で canonical バンドルが効効的である場合に、下半連続包と特異ファイバー上での拡張を用いて、$K_X$ 上に特異 Hermitian 計量 $\hat{h}_{\text{can}}$ を構成する。
• 乗数イデアル層 $\mathcal{I}(h^m)$ の理論を適用し、すべての $m \geq 0$ に対して $H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X) \otimes \mathcal{I}(\hat{h}_{\text{can}}^m)) \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X))$ が成り立つようにし、AZD 条件を満たす。
• $m$ と $\ell$ に関する帰納法を用い、グローバル生成性と漸近的接続公式を活用して、ファイバーから全空間への切断の拡張を行う。
• $L^2$-推定と拡張定理を用いて、$mM + H + \ell K_X + \Delta_1 + \cdots + \Delta_\ell$ 上に代数的特異性と非負曲率を持つ計量 $h_{m,\ell}$ を構成する。
• Hölder の不等式と $\epsilon \to 0$ における極限を用いて、$\hat{h}_{\text{can},D}(A,h_A)|X_s = O(\hat{h}_{\text{can},D,s}((A,h_A)|X_s))$ を示し、退化下での整合性を保証する。
• $kD = \Delta_1 + \cdots + \Delta_{k-1}$ を、簡約な単純正則交差分岐の和に分解し、乗数イデアルの接続理論を用いて、KLT 対への構成を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 効効的対数 canonical 除数を持つKLT対の相対対数 canonical バンドルに、最小特異性と非負曲率を持つ canonical 特異 Hermitian 計量を構成できるか？
• RQ2 この超canonical AZD の射影的変形における変動が、対数多様体の不変性を示唆するか？
• RQ3 canonical AZD の理論を canonical な状況から対数 canonical な状況へ一般化するには、どのようにすればよいか？（接続線分束を含む。）
• RQ4 対数 canonical 系の直接像が局所自由であり、Griffiths 半正定計量を持つための条件は何か？
• RQ5 この構成は、$\mathbb{C}^n$ 内の有界領域などの非コンパクト複素多様体へ拡張可能か？

主な発見

• 滑らかな射影的多様体で canonical バンドルが効効的である場合に、$K_X$ 上の超canonical AZD $\hat{h}_{\text{can}}$ は一意に定まり、非負曲率を持ち、すべての $m \geq 0$ に対して $H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X) \otimes \mathcal{I}(\hat{h}_{\text{can}}^m)) \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X))$ を満たす。
• 滑らかな多様体で canonical バンドルが効効的である場合に、$\hat{h}_{\text{can}}$ の射影的変形における変動は、多様体の不変性の新たな証明を与える。
• 効効的対数 canonical 除数を持つKLT 対 $(X_s, D_s)$ に対して、$K_{X/S} + A + D$ 上の超canonical AZD $\hat{h}_{\text{can},D}$ は、各ファイバーに最小特異性と非負曲率を持つ canonical 計量を誘導する。
• 対数多様体の不変性は、相対対数 canonical バンドルに超canonical AZD を構成することによって確立され、canonical な状況の一般化がなされる。
• 直接像層 $\mu_* \mathcal{O}_X(m(K_{X/S} + A + D))$ は局所自由であり、Griffiths 半正定計量を持つ。曲率のカレントは Demailly の意味で非負である。
• この構成は、$\mathbb{C}^n$ 内の有界領域などの非コンパクト複素多様体へも拡張可能であり、非コンパクト Kähler 多様体上の canonical 計量の研究への応用が示唆される。