[論文レビュー] Capacitated Center Problems with Two-Sided Bounds and Outliers

Hu Ding, Lunjia Hu+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、下限および上限の両方の容量制約を伴う容量制限付き $k$-center 問題に対する、初めての定数倍近似アルゴリズムを提示する。特に、中心数に制約のない場合においても、従来の線形計画法（LP）に基づく手法よりも優れた近似性能を達成する単純な組合せ的アルゴリズムを導入している。また、アウトライア（外れ値）の取り扱いを含めた拡張も行われる。

ABSTRACT

In recent years, the capacitated center problems have attracted a lot of research interest. Given a set of vertices $V$, we want to find a subset of vertices $S$, called centers, such that the maximum cluster radius is minimized. Moreover, each center in $S$ should satisfy some capacity constraint, which could be an upper or lower bound on the number of vertices it can serve. Capacitated $k$-center problems with one-sided bounds (upper or lower) have been well studied in previous work, and a constant factor approximation was obtained. We are the first to study the capacitated center problem with both capacity lower and upper bounds (with or without outliers). We assume each vertex has a uniform lower bound and a non-uniform upper bound. For the case of opening exactly $k$ centers, we note that a generalization of a recent LP approach can achieve constant factor approximation algorithms for our problems. Our main contribution is a simple combinatorial algorithm for the case where there is no cardinality constraint on the number of open centers. Our combinatorial algorithm is simpler and achieves better constant approximation factor compared to the LP approach.

研究の動機と目的

• 下限および上限の両方の容量制約を伴う $k$-center 問題における近似アルゴリズムのギャップを埋める。
• 均一な下限と非均一な上限を伴う現実的な制約下での問題の考察。
• クラスタサイズに外れ値頂点を含める拡張を実施。
• 特に中心数に制約のない場合において、既存のLPベースの手法を上回る近似保証を提供。
• 容量制限付きおよび外れ値を含む $k$-supplier 問題へのフレームワークの一般化。

提案手法

• 中心数に制約のない $k$-center 問題に、下限および上限の両方の制約を伴う、新規な組合せ的アルゴリズムを提案。複雑なLPラウンディングを回避する。
• スケルトンデータ構造を用いた木分解アプローチにより、問題を木インスタンスに還元し、再帰的構築を可能にする。
• 整数値の局所的距離2移動を定義し、容量制約を満たす中心選択をモデル化する。
• 根ノードの容量がその子ノードの上限に対して相対的に大きいかどうかに基づくケース解析を実施し、実行可能性と近似性能を保証する。
• 場合 $U_r > U_{u^*}$ においては、上限を修正することでより単純なケースに還元し、近似保証を維持する。
• 外れ値処理のために先行研究のスケルトン構築および距離24移動の結果を活用し、下限の存在を考慮した形に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下限および上限の両方の容量制約を伴う $k$-center 問題に対して、定数倍近似が達成可能か。
• RQ2 外れ値の導入が、両側の制約を持つ容量制限付き中心問題の近似可能性に与える影響は。
• RQ3 組合せ的アルゴリズムが、近似比および単純さの観点で、既存のLPベースの手法を上回れるか。
• RQ4 非均一な上限と均一な下限が、近似アルゴリズムの設計に与える影響は。
• RQ5 両側の制約と外れ値を含む $k$-supplier 問題へのフレームワークの拡張は可能か。

主な発見

• 非均一な上限を持つ (L, {U_u}, k)-Center 問題に対して、多項式時間の9-近似アルゴリズムが達成された。
• 均一な上限の場合、6-近似が得られ、従来のLPベースの結果を改善した。
• (L, {U_u}, k)-Supplier 問題に対して13-近似が達成され、均一な場合では9-近似が得られた。
• 外れ値を含むバージョンでは、(L, {U_u}, k, p)-Centerに対して25-近似が達成され、均一な場合では23-近似が得られた。
• ソフト容量バージョンでは、(L, {U_u}, soft-k, p)-Center および (L, U, soft-k, p)-Center の両方で13-近似が達成された。
• 提案された組合せ的アルゴリズムは、特に中心数に制約のない設定において、LPベースの手法を上回る近似性能を示した。