[論文レビュー] Cardy-Verlinde Formula and asymptotically flat rotating Charged black holes

Jiliang Jing|ArXiv.org|Feb 8, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アインシュタイン＝マクスウェル理論および低エネルギーストリング有効場理論における漸近的に平坦で回転・電荷をもつブラックホール、Kerr-Newman、EMDA、カルラッツァ＝クライン、セーンブラックホールを含め、カーディ-ヴェルリンデ公式を一般化する。Kerr-Newmanに対しては、Casimirエネルギーの定義はAdS/dSの場合と類似しているが、公式の形は特異的である。EMDA、カルラッツァ＝クライン、セーンブラックホールに対しては、公式は係数を修正したKerrブラックホールの形に簡略化され、カルラッツァ＝クラインおよびセーンの場合にはBekenshteinのものよりもきついエントロピー上限が得られる。

ABSTRACT

The Cardy-Verlinde formula is generalized to the asymptotically flat rotating charged black holes in the Einstein-Maxwell theory and low-energy effective field theory describing string by using some typical spacetimes, such as the Kerr-Newman, Einstein-Maxwell-dilaton-axion, Kaluza-Klein, and Sen black holes. For the Kerr-Newman black hole, the definition of the Casimir energy takes the same form as that of the Kerr-Newman-AdS$_4$ and Kerr-Newman-dS$_4$ black holes, while the Cardy-Verlinde formula possesses different from since the Casimir energy does not appear in the extensive energy. The Einstein-Maxwell-dilaton-axion, Kaluza-Klein, and Sen black holes have special property: The definition of the Casimir energy for these black holes is similar to that of the Kerr-Newman black hole, but the Cardy-Verlinde formula takes the same form as that of the Kerr black hole. Furthermore, we also study the entropy bounds for the systems in which the matters surrounds these black holes. We find that the bound for the case of the Kerr-Newman black hole is related to its charge, and the bound for the cases of the EMDA, Kaluza-Klein, and Sen black holes can be expressed as a unified form. A surprising result is that the entropy bounds for the Kaluza-Klein and Sen black holes are tighter than the Bekenstein one.

研究の動機と目的

• AdS/dS時空において成功を収めたが、未だ未解明のままの漸近的に平坦で回転・電荷をもつブラックホールへのカーディ-ヴェルリンデ公式の拡張を図ること。
• これらのブラックホールの境界における conformal field theory (CFT) のエントロピーが、Bekenstein-Hawking エントロピーと一致するかを調査すること。
• 物質がこれらのブラックホールを取り囲むような系におけるエントロピー上限を導出し、Bekensteinの上限と比較すること。
• 電荷および回転を有する非AdSブラックホールに対して、カーディ-ヴェルリンデ公式が元の形を保つか、あるいは修正を要するかを特定すること。
• さまざまなブラックホールタイプにわたる一般化された公式において、Casimirエネルギーと広義のエネルギーの役割を調査すること。

提案手法

• Kerr-Newmanブラックホールに対して、$ S = \frac{2\pi r_{+}}{n} \sqrt{E_c \cdot 2(E - E_Q)} $ の形でカーディ-ヴェルリンデ公式を用い、$ E_Q $ を電気的ポテンシャルエネルギーと定義する。
• EMDA、カルラッツァ＝クライン、セーンブラックホールに対しては、統一されたカーディ-ヴェルリンデ形式 $ S = \frac{2\pi r_{+}}{\sqrt{a_1b_1}} \sqrt{E_c \cdot 2E} $ を適用し、$ \sqrt{a_1b_1} $ を幾何学的および熱力学的パラメータから導出する。
• ホライズン半径 $ r_+ $、質量 $ M $、角運動量 $ a $、電荷 $ Q $ を用いて、熱力学的および幾何学的関係からCasimirエネルギー $ E_c $ を計算する。
• 共変位相法とカルピルの境界条件を用いて、ホライズンにおけるVirasoro代数および中心指数を構築し、CFTエントロピーとBekenstein-Hawkingエントロピーを結びつける。
• エントロピー上限を、$ S_B = 2\pi R E \frac{n}{\sqrt{a_1b_1}} $ として定義し、$ \frac{n}{\sqrt{a_1b_1}} $ を1と比較することで、Bekensteinの上限に対するきつさを評価する。
• Kerr-Newman、EMDA、カルラッツァ＝クライン、セーンの具体的なブラックホール解を、既知の計量および熱力学的性質を用いて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に平坦で回転・電荷をもつブラックホール、たとえばKerr-NewmanやEMDAに対して、カーディ-ヴェルリンデ公式は成立するか？
• RQ2 平坦時空におけるCasimirエネルギーおよび広義のエネルギーの定義は、AdS/dSブラックホールとどのように異なるか？
• RQ3 これらのブラックホールを取り囲む物質のエントロピー上限は、Bekensteinの上限よりもきつくなる可能性があるか？ どのような条件下でそうなるか？
• RQ4 EMDA、カルラッツァ＝クライン、セーンブラックホールは、異なる電荷および構造を有するが、なぜKerrブラックホールと同じカーディ-ヴェルリンデ形式を示すのか？
• RQ5 Virasoro代数の構築を通じて、平坦時空ブラックホールにおいてもCFTエントロピーとBekenstein-Hawkingエントロピーの一致が保たれるか？

主な発見

• Kerr-Newmanブラックホールに対しては、Casimirエネルギーの定義はKerr-Newman-AdS/dSの場合と類似しているが、広義のエネルギーには電気的ポテンシャルエネルギーが含まれないため、カーディ-ヴェルリンデ公式は次のように修正される：$ S = \frac{2\pi r_{+}}{n} \sqrt{E_c \cdot 2(E - E_Q)} $。
• EMDA、カルラッツァ＝クライン、セーンブラックホールに対しては、Casimirエネルギーの定義はKerr-Newmanと類似しているが、カーディ-ヴェルリンデ公式は $ S = \frac{2\pi r_{+}}{\sqrt{a_1b_1}} \sqrt{E_c \cdot 2E} $ の形に簡略化され、Kerrブラックホールの公式と同一である。
• 係数 $ \sqrt{a_1b_1} $ は、EMDAでは $ n $、カルラッツァ＝クラインでは $ \frac{n(1 - v^2/2)}{\sqrt{1 - v^2}} $、セーンブラックホールでは $ \frac{n(1 + \cosh\alpha\cosh\beta)}{\cosh\alpha + \cosh\beta} $ に等しい。
• 4種類のブラックホールすべてに対して、ホライズン上でのCFTのエントロピーは正確にBekenstein-Hawkingエントロピーと一致し、CFT手法による一貫性が確認された。
• カルラッツァ＝クラインおよびセーンブラックホールのエントロピー上限は、$ \frac{n}{\sqrt{a_1b_1}} \leq 1 $ であるため、Bekensteinの上限よりもきつい。等号は特別な極限でのみ成立する。
• Kerr-Newmanブラックホールに対しては、エントロピー上限 $ S \leq 2\pi R(E - \frac{Q^2}{2r_+}) $ は電荷によってきつくなり、$ Q = 0 $ のときにはBekensteinの上限に簡略化される。