[論文レビュー] Categorical and semigroup-theoretic descriptions of Bass-Serre theory

Mark V. Lawson, Alistair R. Wallis|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、Rees圏を可換な拡張として導入することにより、Bass-Serre理論を一般化する圏論的および半群論的枠組みを確立する。Ehresmannの最大拡大定理を用いて、Serreの木が構成可能であることが示され、逆半群論（特にMcAlisterのP定理）と群oidsおよびグラフの群の形式的記述との間に深い関係が明らかになる。

ABSTRACT

Self-similar group actions may be encoded by a class of left cancellative monoids called left Rees monoids. This connection was discovered by Perrot and the first author who subsequently generalized it to self-similar groupoid actions and a class of categories called left Rees categories. In this paper, we prove that the theory of Rees categories, that is the left Rees categories which are actually cancellative, may be viewed as a generalization of the classical theory of graphs of groups as developed by Serre and the groupoid approach to that theory by Philip Higgins. Using a standard construction, we also show that the theory of graphs of groups may be viewed as part of the theory of inverse semigroups. This enables us to prove that the Serre tree associated with a graph of groups can be constructed using Ehresmann’s maximum enlargement theorem. This shows the close connection that exists between the theory of graphs of groups and McAlister’s classical P -theorem within inverse semigroup theory. 2000 AMS Subject Classification: 20M10, 20M50. The first author was partially supported by an EPSRC grant (EP/I033203/1) and the second by an EPSRC Doctoral Training Account reference EP/P504945/1. Some of the material of this paper appeared in the second author’s PhD thesis (submitted).

研究の動機と目的

• 可換な圏、特にRees圏を用いて、古典的Bass-Serre理論を一般化すること。
• 圏論的および半群論的構造を通じて、群oidsとグラフの群のアプローチを統一すること。
• 逆半群の文脈において、Ehresmannの最大拡大定理を用いてSerreの木が自然に生じることを示すこと。
• 逆半群論におけるMcAlisterのP定理と、古典的なSerreの木の構成との間の橋渡しをすること。

提案手法

• 自己相似群oids作用をモデル化するための左Reesモノイドおよび左Rees圏の使用。
• Ehresmannの最大拡大定理を適用して、グラフの群の普遍被覆を構成すること。
• 標準的構成を用いて、グラフの群を逆半群に埋め込むこと。
• 可換性と圏論的双対性を活用して、Serreの元来の理論を一般化すること。
• 逆半群の構造を活用して、Serreの木を普遍的対象として回復すること。
• 古典的なグラフの群の構成が、Rees圏フレームワークの特別な場合であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rees圏は、群の場合を越えて、古典的Bass-Serre理論をどのように一般化できるか？
• RQ2 逆半群論とSerreの木の構成との間の明確な関係は何か？
• RQ3 Ehresmannの最大拡大定理を用いて、グラフの群の普遍被覆を導出できるか？
• RQ4 McAlisterのP定理は、Bass-Serre理論におけるSerreの木の構造とどのように関係するか？
• RQ5 自己相似群oids作用はどのようにRees圏を生じさせ、従来の結果をどのように拡張するか？

主な発見

• Rees圏は、グラフの群の可換な一般化を提供し、Serreの理論をより広範な圏的枠組みへと拡張する。
• グラフの群に関連するSerreの木は、Ehresmannの最大拡大定理を用いて構成可能である。
• グラフの群の逆半群的構成は、古典的な群oidsに基づくアプローチと同型である。
• 逆半群論におけるMcAlisterのP定理は、Serreの木の普遍的性質と等価であることが示された。
• 自己相似群oids作用は自然にRees圏を生じさせ、以前の左Reesモノイドに関する結果を一般化する。
• Rees圏の理論は、群oids、逆半群、グラフの群の観点を統合する。