[論文レビュー] Categorical Probability Theory

Kirk Sturtz|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、可測空間上の双対双対化モナドの部分モナドとして自然に生じるギリのモナド（確率測度を表す）が、単位区間への弱く平均的で、アフィン的で、極限を保存する関数型の性質を持つことによって、確率論の圏論的基盤を確立する。主な結果は、この部分モナドがギリのモナドと同型であり、凸空間から可測空間への関手の密度モナドであるということである。

ABSTRACT

We present a categorical viewpoint of probability measures by showing that a probability measure can be viewed as a weakly averaging affine measurable functional taking values in the unit interval which preserves limits. The probability measures on a space are the elements of a submonad of a double dualization monad on the category of measurable spaces into the unit interval, and this monad is naturally isomorphic to the Giry monad. We show this submonad is the codensity monad of a functor from the category of convex spaces to the category of measurable spaces. A theorem proving the integral operator acting on the space of measurable functions and the space of probability measures on the domain space of those functions is given using the strong monad structure of the Giry monad.

研究の動機と目的

• 可測空間の文脈において、関数的性質を用いて確率測度の圏論的特徴づけを提供すること。
• ギリのモナドが可測空間上の双対双対化モナドの部分モナドとして生じることを示すこと。
• 凸空間から可測空間への関手の密度モナドとしてギリのモナドを確立すること。
• 強いモナド構造と積分作用素を介して、圏論的および測度論的確率論の視点を統合すること。

提案手法

• 弱く平均的で、アフィン的で、極限を保存する関数型 G: I^X → I を用いて、Meas(I^•, I) の部分モナド 𝒫 を定義する。
• 𝒫(X) の要素が、f ↦ ∫f dP という写像により、X 上の確率測度とちょうど一致することを示す。
• ギリのモナドの強いモナド構造を用いて、積分作用素 (P, f) ↦ ∫f dP が可測であることを証明する。
• 凸空間を可測空間に埋め込む関手 ι: Cvx → Meas を構成し、ι 沿っての右カルタン拡張がモナド 𝒫 を与えることを示す。
• ユニバーサル錐の性質と余単位 ε の自然性を検証することで、モナド 𝒫 が自然にギリのモナド 𝒢 と同型であることを証明する。
• Meas の SMCC（対称モノイド閉圏）構造を活用して、積分対応の可測性と自然性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率測度は、可測空間上の関数型としてどのように圏論的に特徴づけられるか？
• RQ2 ギリのモナドが双対双対化モナドの部分モナドとして特徴づけられるために必要な関数的性質（弱く平均的で、アフィン的で、極限を保存する）は何か？
• RQ3 ギリのモナドは、凸空間から可測空間への関手の密度モナドと同型か？
• RQ4 可測空間における強いモナド構造を用いて、積分作用素 ∫f dP が可測であることを示せるか？
• RQ5 単位区間を通じて、ギリのモナドと双対双対化モナドの間の圏論的関係は何か？

主な発見

• ギリのモナドは、可測空間上の双対双対化モナド Meas(I^•, I) の部分モナド 𝒫 と自然に同型であり、𝒫(X) は弱く平均的で、アフィン的で、極限を保存する関数型 G: I^X → I からなる。
• モナド 𝒫 は、凸空間を単位区間を介して可測空間に埋め込む関手 ι: Cvx → Meas の密度モナドである。
• 積分作用素 (P, f) ↦ ∫f dP は可測であり、これによりギリのモナドの強いモナド構造が可測空間の圏において確立される。
• 確率測度 P と関数型 f ↦ ∫f dP の間の対応は自然同型であり、ギリのモナドと部分モナド 𝒫 の圏論的同値性が確認される。
• ι∘Q におけるユニバーサル錐構成により、モナド 𝒫 は函子的であり、ギリのモナドの押し出し写像と一致する。
• 評価写像と凸射影との合成を用いて、余単位 ε の自然性が証明され、密度モナド構造が確認される。