[論文レビュー] Categories enriched over a quantaloid: Isbell adjunctions and Kan adjunctions

Lili Sheng, Dexue Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、小さな量的半群 Q に値をとる圏の enrich された状況において、Isbell 隣接関手と Kan 拡張を一般化する。各 Q-分配者 φ : A −◦−→B が、2つの随伴関手——Isbell と Kan——を誘導することを示し、それらがプレシェーブ・圏上のモノイドを生じる。構成は infomorphism を通じて函手的であり、自由な完備化関手は両方の構成を通じて因数分解され、閉包空間や完全 Q-圏への応用を含む、古典的圏論を量的半群に enrich された設定へと拡張する。

ABSTRACT

Each distributor between categories enriched over a small quantaloid Q gives rise to two adjunctions between the categories of contravariant and covariant presheaves, and hence to two monads. These two adjunctions are respectively generalizations of Isbell adjunctions and Kan extensions in category theory. It is proved that these two processes are functorial with infomorphisms playing as morphisms between distributors; and that the free cocompletion functor of Q-categories factors through both of these functors.

研究の動機と目的

• 小さな量的半群 Q に enrich された圏における Isbell 隣接関手と Kan 拡張を拡張すること。
• Q-分配者によって誘導される2つの随伴関手——Isbell と Kan——を定義し、それらを研究すること。
• 分配者間の infomorphism をモルフィズムとして用いることで、これらの構成の函手的性を確立すること。
• Q-圏の自由な完備化関手が、Isbell および Kan 構成の両方を通じて因数分解されることを示すこと。
• 完全 Q-圏が分配者から生じる閉包作用素の不動点としてどのように表現できるかを調査すること。

提案手法

• Q-圏 A と B 間の Q-分配者 φ : A −◦−→B を導入し、2つの随伴関手 φ↑⊣φ↓: PA ⇀P†B（Isbell）および φ∗⊣φ∗: PB ⇀PA（Kan）を定義する。
• Q-圏における Yoneda 埋め込みと co-Yoneda 埋め込みを用いて、古典的な Isbell 共役性を一般化する。
• 合成と双対性に関して整合性条件を満たすペア (F, G) として、Q-分配者間の infomorphism を定義する。
• PA 上のモノイド φ↓◦φ↑ および PB 上のモノイド φ∗◦φ∗ を構成し、それらを A および B 上の閉包作用素として解釈する。
• これらのモノイドの不動点はそれぞれ完全 Q-圏 M(φ) および K(φ) をなすことを示す。
• 構成の函手的性を用いて、自由な完備化関手 P が M および K を通じて因数分解されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Isbell 隣接関手と Kan 拡張は、小さな量的半群 Q に enrich された圏へ一般化可能か？
• RQ2 Isbell および Kan 隣接関手の構成は、Q-分配者間の infomorphism に関して函手的か？
• RQ3 Q-圏の自由な完備化関手は、Isbell および Kan 構成の両方を通じて因数分解可能か？
• RQ4 どのような条件下で、任意の完全 Q-圏が、ある Q-分配者 φ に対して K(φ) として表現可能か？
• RQ5 双対性の家族および Girard 量的半群は、完全 Q-圏の対称的表現を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 各 Q-分配者 φ : A −◦−→B は、2つの随伴関手 φ↑⊣φ↓（Isbell）および φ∗⊣φ∗（Kan）を誘導し、古典的構成を一般化する。
• 写像 φ ↦ (A, φ↓◦φ↑) は、Q-分配者および infomorphism の圏から Q-閉包空間への函手的対応である。
• 写像 φ ↦ (B, φ∗◦φ∗) は、Q-閉包空間へ反変函手的である。
• φ↓◦φ↑ の不動点は完全 Q-圏 M(φ) をなし、φ∗◦φ∗ の不動点は完全 Q-圏 K(φ) をなす。
• 自由な完備化関手 P は M および K を通じて因数分解され、それらの普遍性が示される。
• Girard 量的半群では、任意のスケルタルな完全 Q-圏は、双対性および否定関手 ¬ を用いて、ある Q-分配者 φ に対して K(φ) と同型である。