[論文レビュー] Categorification of Hopf algebras of rooted trees

Joachim Kock|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限的多項式自己函手 $P$ による $P$-木でインデックス付けられた有限集合の圏にモノイダル構造を構成することによって、根付き木の Connes–Kreimer Hopf 代数のカテゴリフィケーションを提示する。モノイダル構造は、$P$ 上の自由モノイドの表現写像と一致する多項式函手によって与えられ、対象化と多項式函手を介して代数的bialgebra 構造を集合のレベルにカテゴリカルに上げる。同時に、前結合による双対性によって余乗法の構造が回復される。

ABSTRACT

We exhibit a monoidal structure on the category of finite sets indexed by P-trees for a finitary polynomial endofunctor P. This structure categorifies the monoid scheme (over Spec N) whose semiring of functions is (a P-version of) the Connes--Kreimer bialgebra H of rooted trees (a Hopf algebra after base change to Z and collapsing H_0). The monoidal structure is itself given by a polynomial functor, represented by three easily described set maps; we show that these maps are the same as those occurring in the polynomial representation of the free monad on P.

研究の動機と目的

• Semiring 上の Connes–Kreimer Hopf 代数の bialgebra 構造を半体から有限集合の圏へ上げることによるカテゴリフィケーションの提供。
• $P$-木でインデックス付けられた有限集合の圏に、Hopf 代数の代数的演算をカテゴリフィケーションするモノイダル構造の定義。
• モノイダル構造が、$P$ 上の自由モノイドの多項式表現のものと一致する写像を持つ多項式函手から生じることの示唆。
• 自己同型類とファイブリス構成を注意深く取り扱うことで、抽象木への拡張を可能にし、自己同型の影響を受けることなく一貫性を保つ。
• 群oids や $ty$-群oids への将来的な一般化の土台を築くために、要素に基づく推論ではなく関手的で自然同型に基づく構成を採用する。

提案手法

• 有限集合を $P$-木でインデックスづけた圏 $b{A}^{{T}}$ を構成する。ここで ${T}$ は有限的多項式自己函手 $P$ の $P$-木の集合である。
• 自由モノイドの構成から得られる三つの集合写像を用いて、$P$-木でインデックスづけられた有限集合の圏へのモノイダル構造 $M: b{A}^{{T}} imes b{A}^{{T}} o b{A}^{{T}}$ を多項式函手によって定義する。
• モノイダル構造と余乗法の双対性を用いる：余乗法はモノイダル構造函手 $M$ との前結合によって回復される。
• すべての構成を ${T}$ 上でファイブリス的に行い、カットや木の同型類に依存しないようにすることで、基数と構造を保つ。
• 自己同型と対称性を扱うために、同型類の代表元ごとにファイバーを定義し、引き戻しと余極限における一貫性を保証する。
• 要素に基づく推論を避けるために、関手的で自然同型に基づくアプローチを採用し、将来的に群oids や $ty$-群oids への拡張を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根付き木の Connes–Kreimer Hopf 代数は、どのようにして半体のレベルから集合のレベルへカテゴリカルに上げられるか？
• RQ2 $P$-木でインデックスづけられた有限集合の圏に、Hopf 代数の双代数的演算をカテゴリフィケーションするモノイダル構造は何か？
• RQ3 モノイダル構造を定義する集合写像は、$P$ 上の自由モノイドの多項式表現から生じる写像と一致するか？
• RQ4 終端多項式自己函手が存在しないにもかかわらず、この構成は抽象木へ拡張可能か？
• RQ5 群oids は $P$-木と抽象木の統一的取り扱いにおいて果たす役割は何か？また、これは将来的な高次圏への一般化にどのように寄与するか？

主な発見

• 圏 $b{A}^{{T}}$ 上のモノイダル構造は、$P$ 上の自由モノイドの多項式表現のものと同一の写像を持つ多項式函手によって与えられる。
• カテゴリフィケーションされた Hopf 代数における余乗法は、モノイダル構造函手 $M$ との前結合によって回復される。
• $P$-木に対しては、カテゴリフィケーションにより、Burnside 半体が $P$-バージョンの Connes–Kreimer 双代数 $H$ と同型となる分配圏が得られる。
• ファイブリス的構成を用いることで、自己同型の影響を避けて、抽象木に対しても構成が有効である。
• 関手的で自然同型に基づく手法の使用により、将来的に群oids や $ty$-群oids への拡張が可能であることが保証される。
• 理論は概念的に統一的である：自由モノイドを定義するのと同じ写像がモノイダル構造を定義しており、代数的構成とカテゴリカル構成の間に深い双対性が明らかになる。