[論文レビュー] Categorification of Pre-Lie Algebras and Solutions of 2-graded Classical Yang-Baxter Equations

Yunhe Sheng|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、pre-Lie 代数のカテゴリフィケーションとしてpre-Lie 2代数を導入し、2-termのpre-Lie ∞-代数とその同値性を確立する。Lie 2代数上のO作用素を定義し、それがpre-Lie 2代数と2次元の古典的ヤン・バクスター方程式（2-graded CYBE）の解を生成することを示し、古典的な結果を高次カテゴリカル構造へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notion of a pre-Lie 2-algebra, which is a categorification of a pre-Lie algebra. We prove that the category of pre-Lie 2-algebras and the category of 2-term pre-Lie$_\infty$-algebras are equivalent. We classify skeletal pre-Lie 2-algebras by the third cohomology of a pre-Lie algebra. We prove that crossed modules of pre-Lie algebras are in one-to-one correspondence with strict pre-Lie 2-algebras. $\mathcal O$-operators on Lie 2-algebras are introduced, which can be used to construct pre-Lie 2-algebras. As an application, we give solutions of 2-graded classical Yang-Baxter equations in some semidirect product Lie 2-algebras.

研究の動機と目的

• pre-Lie 代数、O作用素、および古典的ヤン・バクスター方程式（CYBE）の関係を、高次カテゴリカルな類似物としてカテゴリフィケーションすること。
• pre-Lie 2代数をpre-Lie 代数のカテゴリフィケーションとして定義し、2-termのpre-Lie ∞-代数とその同値性を確立すること。
• pre-Lie 代数の3番目のコホモロジーを用いて、スケルタルなpre-Lie 2代数を分類すること。
• pre-Lie 代数の交差モジュールと厳密なpre-Lie 2代数の間の対応関係を確立すること。
• Lie 2代数上のO作用素を用いて、半直積Lie 2代数における2-graded古典的ヤン・バクスター方程式の解を構成すること。

提案手法

• 2-term複体上に定義され、特定の公理を満たす乗法と整合するpre-Lie 2代数の概念を導入し、pre-Lie 代数のカテゴリフィケーションとして定義する。
• 表現に関してLie 2代数上のO作用素を定義し、Lie 代数におけるO作用素の概念を高次構造へ一般化する。
• 2-termのpre-Lie ∞-代数から、部分隣接Lie代数と双対空間上の表現を用いてLie 2代数を構成する。
• pre-Lie 代数構造とその双対を用いて定義された乗法とLie括弧を用いて、Lie 2代数構造を構築する。
• 自然な構成を介して、2-termのpre-Lie ∞-代数の圏とpre-Lie 2代数の圏が同値であることを証明する。
• 半直積Lie 2代数におけるO作用素の像を用いて、2-graded CYBEの解を構成する。これは、pre-Lie 代数からの古典的構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なO作用素、pre-Lie 代数、およびCYBEの解との関係を、高次カテゴリカル構造へどのようにカテゴリフィケーションできるか。
• RQ2 pre-Lie 2代数の明確な定義と構造は何か。また、2-termのpre-Lie ∞-代数とどのように関係しているか。
• RQ3 pre-Lie 代数の交差モジュールは、厳密なpre-Lie 2代数とどのように対応するか。
• RQ4 pre-Lie 代数の3番目のコホモロジーが、スケルタルなpre-Lie 2代数の分類において果たす役割は何か。
• RQ5 O作用素を用いて、Lie 2代数における2-graded古典的ヤン・バクスター方程式の解を構成できるか。

主な発見

• pre-Lie 2代数の圏と2-termのpre-Lie ∞-代数の圏は同値であり、根本的な構造的対応関係を確立する。
• スケルタルなpre-Lie 2代数は、基礎となるpre-Lie 代数の3番目のコホモロジー群によって分類される。
• pre-Lie 代数の交差モジュールと厳密なpre-Lie 2代数の間には1対1の対応関係がある。
• Lie 2代数上のO作用素は、pre-Lie 2代数構造を誘導する。これは、古典的なO作用素の構成を一般化する。
• 半直積Lie 2代数における2-graded古典的ヤン・バクスター方程式の解が、O作用素を用いて構成され、古典的な結果が拡張される。
• dが歪対称で、乗法がpre-Lie 代数とその双対を用いて定義されるとき、厳密なLie 2代数 (g(A), A*, d, l2) において、2-graded CYBEの解rが明示的に構成される。