[論文レビュー] Categorification of quantum symmetric pairs I

Huanchen Bao, Peng Shan+2 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子群 $U(\mathfrak{sl}_{2r+1})$ のコイデアル部分代数 $\dot{U}^\jmath$ の2カテゴリカル化を2カテゴリ $\dot{U}^\jmath$ として導入し、Khovanov-Lauda-Rouquierのカテゴリフィケーションを量子対称ペアに一般化する。特殊なインデックス $i = \diamond$ における新しい関係、特に修正された $\jmath$-Serre 関係と新規の三重点関係を含む。また、自己双対的かつ分解不能な1準同型が $\dot{U}^\jmath$ の正規基底をカテゴリフィケーションすることを証明する。このカテゴリフィケーションは、シュールカテゴリおよびタイプB/Cのカテゴリ $\mathcal{O}$ におけるカテゴリカル作用へと拡張され、量子対称ペアへのシュール双対性の拡張が得られる。

ABSTRACT

We categorify a coideal subalgebra of the quantum group of $\mathfrak{sl}_{2r+1}$ by introducing a $2$-category à la Khovanov-Lauda-Rouquier, and show that self-dual indecomposable $1$-morphisms categorify the canonical basis of this algebra. This allows us to define a categorical action of this coideal algebra on the categories of modules over cohomology rings of partial flag varieties and on the BGG category $\mathcal{O}$ of type B/C.

研究の動機と目的

• $U(\mathfrak{sl}_{2r+1})$ のコイデアル部分代数 $\dot{U}^\jmath$ をカテゴリフィケーションする2カテゴリ $\dot{U}^\jmath$ を構成すること。
• 量子群のKhovanov-Lauda-Rouquierカテゴリフィケーションを、量子対称ペアの文脈に一般化すること。
• 2カテゴリ $\dot{U}^\jmath$ 内の自己双対的かつ分解不能な1準同型が、$\dot{U}^\jmath$ の正規基底をカテゴリフィケーションすることを確立すること。
• タイプB/Cの部分フラッグ多様体のコホロロジー環上の加群のカテゴリおよびタイプB/Cのカテゴリ $\mathcal{O}$ における、$\dot{U}^\jmath$ の強いカテゴリカル作用を定義すること。

提案手法

• KLR2カテゴリ $\dot{U}$ に類似した2カテゴリ $\dot{U}^\jmath$ を導入し、$i = \diamond, \dots, r - \diamond$ に対して生成子 $E_i$, $F_i$ を持つ。
• 特殊インデックス $i = \diamond$ に対して、新しい2準同型および関係を定義し、修正された $\jmath$-Serre 関係と三重点関係（3.17）を含む。
• 泡スライド公式および関係式（3.9）、（3.17）を用いて、Grothendieck群におけるカテゴリフィケートド $\jmath$-Serre 関係を証明する。
• タイプB/Cにおけるソルゲル・ビモジュールおよびデムズキー作用素を用いて、シュール2カテゴリにおける2表現を構成する。
• この作用を、タイプB/Cの部分フラッグ多様体のコホロロジー環上の加群のカテゴリへと強く上げる。
• ハリシュ・チャンドラビモジュールおよびコイデアル代数 $U^\jmath$ を用いて、タイプB/Cのカテゴリ $\mathcal{O}$ におけるカテゴリカル作用を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $U(\mathfrak{sl}_{2r+1})$ のコイデアル部分代数 $\dot{U}^\jmath$ は、2カテゴリ構造によってカテゴリフィケーション可能か？
• RQ2 $i = \diamond$ における $\dot{U}^\jmath$ のカテゴリフィケーションで新たに現れる関係は何か？ そして、標準的なKLR関係とはどのように異なるか？
• RQ3 2カテゴリ $\dot{U}^\jmath$ 内の自己双対的かつ分解不能な1準同型は、$\dot{U}^\jmath$ の正規基底に対応するか？
• RQ4 泡スライド恒等式および新しい2準同型関係を用いて、カテゴリフィケートド $\jmath$-Serre 関係を証明できるか？
• RQ5 $\dot{U}^\jmath$ は、シュール2カテゴリおよびタイプB/Cのカテゴリ $\mathcal{O}$ において強いカテゴリカル作用をもつのか？

主な発見

• 2カテゴリ $\dot{U}^\jmath$ は、生成子 $E_i$, $F_i$ および $i = \diamond$ における修正された $\jmath$-Serre 関係を満たす新しい2準同型を備えて構成されている。
• 泡スライド恒等式および三重点関係（3.17）の組み合わせを用いて、カテゴリフィケートド $\jmath$-Serre 関係が証明された。
• 2カテゴリ $\dot{U}^\jmath$ 内の自己双対的かつ分解不能な1準同型は、定理6.1で示されるように、$\dot{U}^\jmath$ の正規基底をカテゴリフィケーションする。
• $\dot{U}^\jmath$ はタイプB/Cのシュール2カテゴリにカテゴリカルに作用し、その作用はGrothendieck群への既知の作用にデカテゴリフィケーションされる。
• タイプB/Cの部分フラッグ多様体のコホロロジー環上の加群のカテゴリへの、$\dot{U}^\jmath$ の強いカテゴリカル作用が構成された。
• ハリシュ・チャンドラビモジュールを用いて、タイプB/Cのカテゴリ $\mathcal{O}$ における $\dot{U}^\jmath$ のカテゴリカル作用が定義され、弱い作用が強いものに拡張された。