[論文レビュー] Categorifications of the extended affine Hecke algebra and the affine q-Schur algebra S(n,r) for 2 < r < n

Marco Mackaay, Anne‐Laure Thiel|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3 ≤ r < n の場合に、図式的2カテゴリおよび拡張された特異ソルゲル代数を用いて、拡張されたアフィンヘッケ代数とアフィン量子シュール代数 bS(n,r) のカテゴリフィケーションを構成する。2カテゴリ U(bsl_n)[y] の y-変形を定義し、図式的拡張バイモジュールから bS(n,r)[y] への2ファンクターを定義し、そのグロテンディーク群が bS(n,r) に同型であることを証明することで、アフィン設定における完全なカテゴリフィケーションを確立する。

ABSTRACT

We categorify the extended affine Hecke algebra and the affine quantum Schur algebra S(n,r) for 2 < r < n, using Elias-Khovanov and Khovanov-Lauda type diagrams. We also define the affine analogue of the Elias-Khovanov and the Khovanov-Lauda 2-representations of these categorifications into an extension of the 2-category of affine (singular) Soergel bimodules.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、[MSV13] の有限型 A のカテゴリフィケーション結果をアフィン設定に拡張することである。
• 本稿は、アフィン量子シュール代数 bS(n,r) の2表現を拡張された特異ソルゲルバイモジュール上で構成することを目的としている。
• 著者らの目的は、図式的2カテゴリ DEBim*_{bAr-1} から bS(n,r)*[y] への2ファンクターを定義し、その忠実性を証明することである。
• 主な目的の一つは、カテゴリフィケーションされた代数 bS(n,r)[y] のグロテンディーク群が元の代数 bS(n,r) を回復することを示すことである。
• 本稿は、2カテゴリ U(bsl_n)[y] 及びそのカルーブイ包の構造を調査し、それがクルール＝シュミット的であることを証明している。

提案手法

• 著者らは、Elias-Williamson や Khovanov-Lauda の図式的カテゴリフィケーション技法を用いて、アフィン型 A に対して2カテゴリ DEBim*_{bAr-1} を定義する。
• 彼らは、Q[y] 上の同次2鎖写像を定義し、deg(y) = 2 として、2カテゴリ U(bsl_n) の y-変形を構成する。
• DEBim*_{bAr-1} から bS(n,r)*[y] への2ファンクター Σn,r が定義され、図式的関係および共役変形のテクニックを用いてその忠実性が証明される。
• 拡張された特異ソルゲルバイモジュールを用いて、2表現 F′: bS(n,r)*[y] → ESBim*_{bAr-1} が構成される。
• 2ファンクターの定義が正当化されるためには、共役を用いて関係を低色ケースに還元し、次数条件を検証する必要がある。
• グロテンディーク群は、F と F′ を含む可換図式を用いて計算され、(y) の仮想的零性が bS(n,r)[y] の K0 を bS(n,r) の K0 と関連付けるために用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3 ≤ r < n の場合に、有限型アフィンヘッケ代数および量子シュール代数のカテゴリフィケーションをアフィン設定に拡張できるか？
• RQ2 図式的2カテゴリ DEBim*_{bAr-1} から y-変形されたアフィン量子シュール代数 bS(n,r)*[y] への忠実で、かつ完全である可能性がある2ファンクターが存在するか？
• RQ3 拡張された特異ソルゲルバイモジュール ESBim*_{bAr-1} 上の bS(n,r)*[y] の2表現は、代数的構造の幾何的実現を提供するか？
• RQ4 カテゴリフィケーションされた代数 bS(n,r)[y] のグロテンディーク群と元の代数 bS(n,r) の間の関係は何か？
• RQ5 U(bsl_n) の y-変形は、クルール＝シュミット性およびグロテンディーク群の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 2ファンクター Σn,r: DEBim*_{bAr-1} → bS(n,r)*[y] は忠実であることが証明され、著者らはそれが完全である可能性も仮説している。
• 2ファンクター F′: bS(n,r)*[y] → ESBim*_{bAr-1} は適切に定義されており、次数を保存する。これにより、bS(n,r)*[y] の2表現が確立される。
• bS(n,r)[y] のカルーブイ包のグロテンディーク群は bS(n,r) に同型である。これは、bS(n,r)[y] が bS(n,r) をカテゴリフィケーションすることを証明する。
• bS(n,r)[y] における y で生成されるイデアルは、仮想的零性を示し、bS(n,r)[y] のグロテンディーク群が bS(n,r) のそれと同型であることを保証する。
• 2カテゴリ U(bsl_n)[y] はクルール＝シュミット的であることが示され、その2ホモロジー空間が Q 上で有限次元的であり、deg(y) = 2 > 0 であるためである。
• 図式的2カテゴリ DEBim*_{bAr-1} は、Elias と Williamson の有限型結果を拡張して、拡張されたアフィン特異ソルゲルバイモジュールのカテゴリ EBim*_{bAr-1} と2同値であることが示された。