[論文レビュー] Two boundary Hecke Algebras and combinatorics of type C

Zajj Daugherty, Arun Ram|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、不等パラメータをもつ型Cの拡張アフィンヘッケ代数と量子群 $U_q\mathfrak{gl}_n$ の間でシュール＝ウェイル双対性を確立し、多項式表現のテンソル積を用いてその代数の既約表現を実現する。主な貢献は、スケール局所領域と標準盤面を用いた既約キャリブレート表現の完全分類であり、盤面パスによって添字づけられる基底上で生成子の作用が内容とパスの組合せ論的構造によって明示的に与えられる。

ABSTRACT

This paper gives a Schur-Weyl duality approach to the representation theory of the affine Hecke algebras of type C with unequal parameters. The first step is to realize the affine braid group of type $C_k$ as the group of braids on $k$ strands with two poles. Generalizing familiar methods from the one pole (type A) case, this provides commuting actions of the quantum group $U_q\mathfrak{g}$ and the affine braid group of type $C_k$ on a tensor space $M\otimes N \otimes V^{\otimes k}$. Special cases provide Schur-Weyl pairings between the affine Hecke algebra of type $C_k$ and the quantum group of type $\mathfrak{gl}_n$, resulting in natural labelings of many representations of the affine Hecke algebras of type C by partitions. Following an analysis of the structure of weights of affine Hecke algebra representations (extending the one parameter case to the three parameter case necessary for affine Hecke algebras of type C), we provide an explicit identification of the affine Hecke algebra representations that appear in tensor space (essentially by identifying their Langlands parameters).

研究の動機と目的

• 不等パラメータをもつ型Cのアフィンヘッケ代数のシュール＝ウェイル双対性枠組みを構築し、よく知られた型Aの場合を拡張すること。
• テンソル空間上の量子群作用を用いて、拡張アフィンヘッケ代数 $H^\text{ext}_k$ の既約キャリブレートモジュールの表現論的分類を提供すること。
• 型Cに必要な三パラメータ設定へ、等パラメータの場合の重みと交換子の組合せ論を一般化すること。
• テンソル空間 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ に現れるどの既約 $H^\text{ext}_k$-モジュールが現れるかを明示的に特定し、$U_q\mathfrak{gl}_n$ の最高重量理論とヘッケ代数表現論を結びつけること。
• 標準盤面によって添字づけられる基底を用いて、既約 $H^\text{ext}_k$-モジュールの基底を構成し、生成子の作用をパス依存固有値と構造定数の観点から明示的に与えること。

提案手法

• 型Cのアフィンブレード群を $k$ ストランドに二つの極をもつブレードとして実現し、テンソル空間 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ におけるブレード群作用を可能にする。
• パラメータ $t^{1/2} = q$, $t_0^{1/2} = -iq^{b+d}$, $t_k^{1/2} = -iq^{a+c}$ をもつ拡張アフィンヘッケ代数 $H^\text{ext}_k$ を定義し、量子群作用と整合性を保つようにする。
• テンソル空間 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ における $U_q\mathfrak{gl}_n$ と $H^\text{ext}_k$ の可換作用を用いてシュール＝ウェイル双対性を確立する。ここで $M = L((a^c))$, $N = L((b^d))$, $V = \mathbb{C}^n$ である。
• スケール局所領域と標準盤面パス $S \in \mathcal{T}_k^\lambda$ を用いて、既約キャリブレート $H^\text{ext}_k$-モジュールを分類し、パスと基底ベクトルの間の双対写像を用いる。
• 生成子 $T_i$, $Y_1$, $X_1$, $P$ の作用を基底ベクトル $v_S$ に対して明示的な公式で導出し、固有値が内容差 $c(S(i)/S(i-1))$ とパスの存在に依存することを示す。
• アフィンブレード群およびヘッケ代数のコクセター表現とバーナンスタイン表現を用いて、パラメータ変換を関係づけ、中心化代数の構造を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不等パラメータをもつ型Cの拡張アフィンヘッケ代数 $H^\text{ext}_k$ のどの既約表現がテンソル空間 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ に現れるか？
• RQ2 シュール＝ウェイル双対性を通じて、$H^\text{ext}_k$ の表現論は $U_q\mathfrak{gl}_n$ の最高重量理論からどのように導かれるか？
• RQ3 特に三パラメータ設定において、$H^\text{ext}_k$-モジュールの重みの正確な組合せ論的構造は何か？
• RQ4 $H^\text{ext}_k$-モジュールの中心的特徴とラングランズパラメータは、分割と標準盤面によるインデキシングとどのように関係するか？
• RQ5 生成子 $T_i$, $Y_1$, $X_1$, $P$ の作用は、標準盤面パス $S$ によって添字づけられる基底上でどのように働くか？

主な発見

• テンソル空間 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ に現れる既約 $H^\text{ext}_k$-モジュール $B^\lambda_k$ は、分割 $\lambda \in \mathcal{P}(k)$ と双対写像をなす。ここで $B^\lambda_k \cong H(z,c,\emptyset)_k$ となるような $z$ と $c$ が存在する。
• 基底ベクトル $v_S$ における多項式生成子 $P$ の作用は、$P v_S = q^{2e_0(T)} v_S$ で与えられ、ここで $e_0(T)$ はパスで最初に追加されるボックスの内容である。
• 生成子 $T_i$ の作用は、$T_i v_S = [T_i]_{S,S} v_S + \sqrt{([T_i]_{S,S} - q)([T_i]_{S,S} + q^{-1})} v_{s_i S}$ であり、$[T_i]_{S,S} = \frac{q - q^{-1}}{1 - q^{2(c(S(i)/S(i-1)) - c(S(i+1)/S(i)))}}$ である。
• 生成子 $Y_1$ の作用は、$Y_1 v_S = [Y_1]_{S,S} v_S + \sqrt{([Y_1]_{S,S} - q^{-2d})([Y_1]_{S,S} - q^{2b})} v_{s_0 S}$ であり、ここで $[Y_1]_{S,S}$ は $q$, $a$, $b$, $c$, $d$, および $c(S(1)/S(0))$ の有理関数である。
• 生成子 $X_1$ の作用は、$X_1 v_S = [X_1]_{S,S} v_S + q^{-2c(S(1)/S(0))} q^{a-c+b-d} \sqrt{([X_1]_{S,S} - q^{2a})([X_1]_{S,S} - q^{-2c})} v_{s_0 S}$ であり、$[X_1]_{S,S}$ は同じパラメータを含む有理関数として定義される。
• $\lambda(k) \neq \mu(k)$ であっても、$a=c=6$, $b=d=4$, $k=1$, $\lambda(k)=(12,10,8,8,6,6,5,3,3,1)$, $\mu(k)=(12,9,9,8,7,6,4,3,2,2)$ のとき、$B^{\lambda(k)}_k \cong B^{\mu(k)}_k \cong H(z,c,\emptyset)_k$ となることが可能であり、特定のパラメータ条件下で分割によるインデキシングの非一意性を示している。