[論文レビュー] Categorified Symplectic Geometry and the String Lie 2-Algebra

John C. Baez, Christopher L. Rogers|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、カテゴリフィケートされたシンプレクティック幾何学を用いて、ストリングLie 2代数の幾何的構成を確立する。それは、コンパクトで単純なリー群にその標準的な2-プレクティック構造を備えた場合、左不変な観測可能量のLie 2代数が、既知のストリングLie 2代数と同型であることを示す。この構成は2-プレクティック幾何学に依拠しており、非退化な3形式がシンプレクティック2形式に置き換わる。ハミルトニアン1形式に対して半ブラケット作用素を用いてLie 2代数を導出し、不変性条件の下で有限次元部分代数としてストリング代数が得られる。

ABSTRACT

Multisymplectic geometry is a generalization of symplectic geometry suitable for n-dimensional field theories, in which the nondegenerate 2-form of symplectic geometry is replaced by a nondegenerate (n+1)-form. The case n = 2 is relevant to string theory: we call this 2-plectic geometry. Just as the Poisson bracket makes the smooth functions on a symplectic manifold into a Lie algebra, the observables associated to a 2-plectic manifold form a "Lie 2-algebra", which is a categorified version of a Lie algebra. Any compact simple Lie group G has a canonical 2-plectic structure, so it is natural to wonder what Lie 2-algebra this example yields. This Lie 2-algebra is infinite-dimensional, but we show here that the sub-Lie-2-algebra of left-invariant observables is finite-dimensional, and isomorphic to the already known "string Lie 2-algebra" associated to G. So, categorified symplectic geometry gives a geometric construction of the string Lie 2-algebra.

研究の動機と目的

• 高次構造が場の理論や量子重力において果たす役割に触発され、2-プレクティック幾何学とストリングLie 2代数との関係を調査すること。
• コンパクトで単純なリー群G上の標準的な2-プレクティック形式から生じるLie 2代数構造を特定すること。
• G上の左不変な観測可能量の部分Lie-2代数が、既知のストリングLie 2代数と同型であることを示すこと。
• ストリングLie 2代数を、ガーブや中心拡大に基づくものではなく、幾何的構成によって得ること。

提案手法

• 滑らかな多様体Xに閉じており非退化な3形式ωが与えられたとき、2-プレクティック多様体を定義する。
• 各ハミルトニアン1形式αに対して、dα = −ιvαωを満たすベクトル場vαが存在するものとする。
• ハミルトニアン1形式の上に2つのブラケットを構成する：Lie微分を用いたヘミブラケットと、ωとの内部積を用いた半ブラケット。
• 半ブラケットを主なブラケットとして、ハミルトニアン1形式とベクトル場のチェーン複体上にLie 2代数構造を定義する。
• コンパクトで単純なリー群G上の左不変構造に制限し、不変部分Lie-2代数を特定する。
• チェーン写像φとブラケットの整合性の検証により、この不変部分Lie-2代数と標準的なストリングLie 2代数との同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで単純なリー群G上の標準的な2-プレクティック構造から導かれるLie 2代数は、既知のストリングLie 2代数と一致するか？
• RQ2 ストリングLie 2代数は、ガーブや中心拡大ではなく、マルチシンプレクティック幾何学を用いて幾何的に実現可能か？
• RQ3 左不変性は、無限次元の観測可能量のLie 2代数を、ストリングLie 2代数と同型な有限次元部分代数に縮小する役割を果たすか？
• RQ4 2-プレクティック幾何学の文脈において、ハミルトニアン1形式の上での半ブラケットとヘミブラケットの構造はどのように関係するか？
• RQ5 得られたLie 2代数構造は、既存の代数的構成によるストリングLie 2代数と同値か？

主な発見

• 2-プレクティック多様体G（標準的な3形式を備える）上の観測可能量のLie 2代数は無限次元である。
• 左不変な観測可能量の部分Lie-2代数は有限次元であり、Gに付随する既知のストリングLie 2代数と同型である。
• 同型は、左不変ベクトル場を左不変ハミルトニアン1形式へ写像するチェーン写像φ₀: 𝔤 → 𝔤*によって実現される。
• ハミルトニアン1形式上の半ブラケット作用素はLie 2代数の公理を満たし、ストリングLie 2代数のブラケット構造と一致する。
• チェーン写像φは可逆であり、ブラケット構造を保存する。ジャコビェータとアンタリティの条件は、同型のため自明に満たされる。
• 結果として、ストリングLie 2代数が2-プレクティック幾何学から幾何的に構成可能であることが確認され、ガーブ理論的またはループ群に基づく構成とは補完的である新しい視点が得られた。