[論文レビュー] Central Charges and Extra Dimensions in Supersymmetric Quantum Mechanics

Michael Faux, David Kagan+1 more|ArXiv.org|Jun 18, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、曲がったユークリッド空間上の超対称量子力学に中心的荷重を体系的に組み込むものであり、非自明な中心的荷重が背景幾何に等長性を要求し、中心的荷重ベクトルがキリングベクトルとして機能することを示している。コンパクト化された多様体、たとえば $\mathbb{R} \times (S^1)^{D-1}$ や $\mathbb{R} \times T^2$ 上のモデルは、$SL(2,\mathbb{Z})$ のモジュラー不変性と、大きな次元と小さな次元を入れ替える $\mathbb{Z}_2$ 対称性を示しており、非相対論的ワールドライン理論と、弦理論的双対性を結びつける。

ABSTRACT

We systematically include central charges into supersymmetric quantum mechanics formulated on curved Euclidean spaces, and explain how the background geometry manifests itself on states of the theory. In particular, we show in detail how, from the point of view of non-relativistic d=1 world-line physics, one can infer the existence of target space dualities typically associated with string theory. We also explain in detail how the presence of a non-trivial supersymmetry central charge restricts the background geometry in which a particle may propagate.

研究の動機と目的

• 曲がったユークリッド的ターゲット空間上の超対称量子力学に非自明な中心的荷重を体系的に組み込むこと。
• 特にコンパクト次元が超代数の構造と中心的荷重の存在に与える背景幾何の影響を理解すること。
• 中心的荷重が背景幾何に等長性を要求し、中心的荷重ベクトルがキリングベクトルであることを示すこと。
• $\mathbb{R} \times (S^1)^{D-1}$ や $\mathbb{R} \times T^2$ 上のモデルが、弦理論に類似したターゲット空間双対性を示す仕組みを明らかにすること。
• 非相対論的ワールドライン量子力学と、弦理論など高次元理論に通常関連づけられる双対性との間の関係を確立すること。

提案手法

• $D$ 次元のユークリッド的ターゲット空間にコンパクト次元を含む点粒子を記述する古典的ワールドライン場理論の正準量子化により形式的枠組みを構築する。
• 超電荷は中心的荷重項を含む形に修正される： $ Q = i\,\hbox{\ooalign{$\displaystyle{\cal D}$\cr$\hskip 2.168pt/$}} + \mu R(X^1) \Gamma^{2\dagger} $、ここで $\mu$ は中心的荷重パラメータである。
• 中心的荷重を扱えるように、標準の実クライン・ディリクレ代数に代えて、複素クライン・ディリクレ代数をフェルミオン演算子に用いる。
• 特に $\mathbb{R} \times S^1$ および $\mathbb{R} \times T^2$ に対して、曲がった多様体上の接続と共変微分を計算し、$R(X^1)$ を位置依存半径とする。
• ハミルトニアンは $ H = \frac{1}{2} \{ Q, Q^\dagger \} $ として導出され、ユニタリ変換により $ R \to 1/R $、$ \mu \leftrightarrow \nu $ での不変性が示される。
• $\mathbb{R} \times (S^1)^{D-1}$ および $\mathbb{R} \times T^2$ 上のモデルに対して明示的な量子化を実施し、$SL(2,\mathbb{Z})$ 不変性と $\mathbb{Z}_2$ 双対性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な中心的荷重を、曲がったターゲット空間上の超対称量子力学の超代数に一貫して組み込む方法は何か？
• RQ2 超代数に非自明な中心的荷重が存在する場合、どのような幾何的制約が生じるか？
• RQ3 特に位置依存半径を伴うコンパクト次元が、超電荷およびハミルトニアンの構造にどのように影響するか？
• RQ4 コンパクト化された多様体上のワールドライン量子力学は、弦理論に類似した双対性を示せるか？
• RQ5 キリングベクトルは、中心的荷重の出現とそれによる双対性対称性の発生に果たす役割は何か？

主な発見

• 超代数に非自明な中心的荷重を組み込むには、背景幾何に等長性が要求され、中心的荷重ベクトルがキリングベクトルでなければならない。
• $\mathbb{R} \times (S^1)^{D-1}$ 上のモデルでは、量子論的理論が大きな次元と小さな次元を入れ替える $\mathbb{Z}_2$ 双対性を示す。
• $\mathbb{R} \times T^2$ 上では、トーラスのサイズを保つ $SL(2,\mathbb{Z})$ モジュラー変換に対して量子論的理論が不変である。
• 双対性変換 $ R \to 1/R $、$ \mu \leftrightarrow \nu $ において、ハミルトニアンはユニタリ変換を経て不変であり、スペクトルが保存される。
• 超電荷は $ Q = i\tilde{\hbox{\ooalign{$\displaystyle{\cal D}$\cr$\hskip 2.168pt/$}}}} + \frac{\nu}{R} \Gamma^2 + \mu R \Gamma^{2\dagger} $ と表現され、双対性構造が明示的に明らかになる。
• 明示的計算により、双対性対称性がユニタリ演算子 $ \Omega $ を通して実現されており、$ \Omega^2 = \mathbb{I} $ を満たすため、大きな半径と小さな半径の領域が等価であることが保証される。