[論文レビュー] Central Exact Sequences of Tensor Categories, Equivariantization and Applications

Alain Bruguières, Sonia Natale|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、テンソル圏の中心的完全系列を導入し、有限群または有限群スキーム作用による不変化が生じるための必要十分条件を確立する。ファションおよび有限テンソル圏における不変化の特徴付けを提供し、フロベニウス＝ペルン指数2、あるいは弱整数的圏のフロベニウス＝ペルン次元の最小の素因数であるような支配的テンソル関手は、常に不変化であることを示す。

ABSTRACT

We define equivariantization of tensor categories under tensor group scheme actions and give necessary and sufficient conditions for an exact sequence of tensor categories to be an equivariantization under a finite group or finite group scheme action. We introduce the notion of central exact sequence of tensor categories and use it in order to present an alternative formulation of some known characterizations of equivariantizations for fusion categories, and to extend these characterizations to equivariantizations of finite tensor categories under finite group scheme actions. In particular, we obtain a simple characterization of equivariantizations under actions of finite abelian groups. As an application, we show that if $\C$ is a fusion category and $F: \C o \D$ is a dominant tensor functor of Frobenius-Perron index $p$, then $F$ is an equivariantization if $p=2$, or if $\C$ is weakly integral and $p$ is the smallest prime factor of $\FPdim \C$.

研究の動機と目的

• テンソル群スキーム作用の下でのテンソル圏の不変化を定義し、研究すること。
• 不変化の特徴付けのための道具として、テンソル圏の中心的完全系列の概念を導入すること。
• 既知のファション圏における不変化の特徴付けを、有限群スキーム作用下の有限テンソル圏へと拡張すること。
• 作用する群が有限かつアーベルである場合の不変化の簡単な基準を提供すること。
• ファション圏間の支配的テンソル関手が必ず不変化であるような条件を確立すること。

提案手法

• ホップ代数理論における完全系列の一般化として、テンソル圏の中心的完全系列を導入する。
• モノイダル的アプローチを用いて、完全系列とテンソル圏上のホップモノイドの関係を関係づける。
• 正規的かつ忠実で、完全なホップモノイドの構造を通じて不変化を特徴付ける。
• 特に有限アーベル群作用下で、ファション圏および有限テンソル圏に理論を適用する。
• フロベニウス＝ペルン次元および圏の中心の性質を用いて、テンソル関手の構造を分析する。
• 準ファイバー関手および整数性に関する結果を活用し、テンソル関手が不変化であることを示す条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、テンソル圏の完全系列が有限群または有限群スキーム作用による不変化であるか？
• RQ2 テンソル圏の文脈において、中心的完全系列はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 フロベニウス＝ペルン指数2の支配的テンソル関手が常に不変化であるような条件は何か？
• RQ4 弱整数的ファション圏のフロベニウス＝ペルン次元の最小の素因数が、支配的関手が不変化であることを保証するか？
• RQ5 任意のファション圏における指数2のファション部分圏は、常に正規的か？

主な発見

• フロベニウス＝ペルン指数2のファション圏間の支配的テンソル関手は、常に不変化である。
• 弱整数的ファション圏において、支配的テンソル関手のフロベニウス＝ペルン指数がその圏のフロベニウス＝ペルン次元の最小の素因数と等しいとき、その関手は不変化である。
• ファション圏の中心には、単純対象のフロベニウス＝ペルン次元が圏の次元の最小の素因数未満である場合、唯一の可逆的対象しか含まれない。
• ファション圏の中心的完全系列が不変化から生じるための必要十分条件は、関連するホップモノイドが正規的かつ忠実であることである。
• ポイント付き部分圏の指数が2であるが、正規でないタマラ＝ヤマガミ圏が存在し、指数2が一般に正規性を意味しないことを示している。
• ピカード群の位数が素数であるタマラ＝ヤマガミ圏は、非自明なファション圏の完全系列を許さないため、単純である。