[論文レビュー] Central limit theorem for commutative semigroups of toral endomorphisms

Guy Cohen, Jean-Pierre Conze|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2013

semigroups and automata theory参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンpakto なアーベル連結群、特にトーラス上で作用する可換トーラル自己準同型の半群に対する中心極限定理（CLT）を確立する。スペクトル解析とモーメント積算法を用いて、正則関数の多次元領域への正規化された和の漸近的正規性を証明し、トーラスの場合の分散の非退化性基準を提示する。

ABSTRACT

Let $\Cal S$ be an abelian finitely generated semigroup of endomorphisms of a probability space $(Ω, {\Cal A}, μ)$, with $(T_1, ..., T_d)$ a system of generators in ${\Cal S}$. Given an increasing sequence of domains $(D_n) \subset \N^d$, a question is the convergence in distribution of the normalized sequence $|D_n|^{-\frac12} \sum_{{\k} \, \in D_n} \, f \circ T^{\,{\k}}$, for $f \in L^2_0(μ)$, where $T^{\k}= T_1^{k_1} ... T_d^{k_d}$, ${\k}= (k_1, ..., k_d) \in {\N}^d$. After a preliminary spectral study when the action of $\Cal S$ has a Lebesgue spectrum, we consider $\N^d$- or $\Z^d$-actions given by commuting toral automorphisms or endomorphisms on $\T^ρ$, $ρ\geq 1$. For a totally ergodic action by automorphisms, we show a CLT for the above normalized sequence or other summation methods like barycenters, as well as a criterion of non-degeneracy of the variance, when $f$ is regular on the torus. A CLT is also proved for some semigroups of endomorphisms. Classical results on the existence and the construction of such actions by automorphisms are recalled.

研究の動機と目的

• コンパクトなアーベル連結群上で可換な自己準同型の反復の正規化された和に対する中心極限定理（CLT）を確立すること。
• このような群上の正則関数について、$\mathbb{N}^d$ の多次元領域における加法的列の漸近的分布を調査すること。
• 群がトーラスである場合のCLTにおける非退化分散の基準を提供すること。
• $S$-unit とモーメント積算法を用いて、可解群作用を超えたCLT結果を拡張すること。
• 作用のスペクトル的性質を分析し、CLTにおける混合性およびモーメントの減衰と関連付けること。

提案手法

• $L^2_0(G)$ 上での作用のスペクトル解析を用い、ラドン・スペクトルと分散分解に焦点を当てる。
• モーメント積算法とすべての順序の混合性を適用し、SchmidtおよびWardの$S$-unit 結果に依存する。
• 多項式的相関減衰をモデル化するため、重心 $Pf = \sum_j p_j f \circ T_j$ の形式的枠組みを用いる。
• 特にトーラスであるコンパクトなアーベル連結群上での自己準同型による$\mathbb{Z}^d$-作用の作用を分析する。
• スペクトル測度の構造を用いて「クエンチド」CLTを導出し、さまざまな和の列を扱う。
• $S$-unit に関する結果を応用して強い混合性と相関の減衰を確立し、CLTに不可欠な要因とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化された和 $|D_n|^{-1/2} \sum_{\underline{k} \in D_n} f \circ T^{\underline{k}}$ が分布収束して正規分布に近づく条件は何か？
• RQ2 群 $G = \mathbb{T}^d$ の場合、極限分散の非退化性の基準は何か？
• RQ3 重心 $Pf = \sum_j p_j f \circ T_j$ は相関の減衰とCLTの有効性にどのように影響するか？
• RQ4 指数的相関減衰を用いて、トーラス上の弱正則関数についてCLTを確立できるか？
• RQ5 半群の作用が群 $G$ に対して完全に混合的であり、極限分散が非退化になるようにする条件は何か？

主な発見

• 正則関数 $f$ を持つコンパクトなアーベル連結群 $G$ に対して、正規化された和 $|D_n|^{-1/2} \sum_{\underline{k} \in D_n} f \circ T^{\underline{k}}$ に対して中心極限定理が成り立つ。
• トーラス $G = \mathbb{T}^d$ の場合、極限分散の非退化性基準が提示され、これはスペクトル測度と自己準同型の構造に依存する。
• 正則関数 $f$ に対しては正規化されないが、ほとんどすべての $\theta \in \mathbb{R}^d$ に対して、多次元ピリオドグラム $|D_n|^{-1/2} \sum_{\underline{k} \in D_n} e^{2\pi i \langle \underline{k}, \theta \rangle} T^{\underline{k}} f$ に対してもCLTが成立する。
• 重心 $Pf$ は多項式的相関減衰をもたらし、非可解自己準同型作用における指数的減衰とは対照的である。
• $d$ 次元の可換自己準同型による作用が完全に混合的で、$f$ が正則であるとき、$G$ 上でCLTが成立する。
• 証明は、$S$-unit 定理に基づく連結群におけるすべての順序の混合性と、モーメント積算展開による高次モーメントの制御に依存する。