[論文レビュー] Centrosymmetric, Skew Centrosymmetric and Centrosymmetric Cauchy Tensors

Haibin ChenZhen Chen, Chen, Zhen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、中心対称行列に類似した対称性を有する構造的テンソルとして、中心対称テンソル、反中心対称テンソル、および中心対称キャウチー・テンソルを導入し、その解析を行う。任意のテンソルが中心対称成分と反中心対称成分に一意に分解可能であることを確立し、H固有値およびH固有ベクトルのスペクトル的性質を導出。また、キャウチー・テンソルが中心対称であるための必要十分条件を示し、テンソルの次数と次元に応じてH固有ベクトルに現れる特定の対称性パターンを同定する。

ABSTRACT

Recently, Zhao and Yang introduced centrosymmetric tensors. In this paper, we further introduce skew centrosymmetric tensors and centrosymmetric Cauchy tensors, and discuss properties of these three classes of structured tensors. Some sufficient and necessary conditions for a tensor to be centrosymmetric or skew centrosymmetric are given. We show that, a general tensor can always be expressed as the sum of a centrosymmetric tensor and a skew centrosymmetric tensor. Some sufficient and necessary conditions for a Cauchy tensor to be centrosymmetric or skew centrosymmetric are also given. Spectral properties on H-eigenvalues and H-eigenvectors of centrosymmetric, skew centrosymmetric and centrosymmetric Cauchy tensors are discussed. Some further questions on these tensors are raised.

研究の動機と目的

• 中心対称行列の概念を高次テンソルへ拡張し、中心対称テンソルおよび反中心対称テンソルを導入すること。
• これらの構造的テンソルのスペクトル的性質（特にH固有値およびH固有ベクトル）を調査すること。
• 中心対称キャウチー・テンソルを定義し、その中心対称性のための必要十分条件を確立すること。
• 一般テンソルが中心対称成分と反中心対称成分に分解可能であることを検討すること。
• 反中心対称キャウチー・テンソルにおける正定値性および固有ベクトル構造に関する未解決問題を同定すること。

提案手法

• 添字の反転対称性により中心対称テンソルおよび反中心対称テンソルを定義：$ a_{i_1\cdots i_m} = a_{n-i_1+1\cdots n-i_m+1} $ および $ a_{i_1\cdots i_m} = -a_{n-i_1+1\cdots n-i_m+1} $。
• 2つの中心対称テンソルの積が常に中心対称であることを証明し、テンソルが中心対称または反中心対称であるための必要十分条件を確立する。
• 任意の実数テンソルが、中心対称テンソルと反中心対称テンソルの和として一意に分解可能であることを示す。
• 中心対称テンソルおよび反中心対称テンソルのH固有ベクトルを分析し、中心対称テンソルのH固有ベクトルがテンソルの次数に応じて対称的であるか、またはその絶対値が対称的であることを示す。
• 生成ベクトル $ c $ を用いて中心対称キャウチー・テンソルを定義し、$ \mathcal{C} $ が中心対称であるための必要十分条件として $ c $ が対称的であること、すなわちすべての $ i \in [n] $ に対して $ c_i = c_{n-i+1} $ であることの証明。
• テンソル積およびH固有値の定義を用いて、H固有ベクトルの対称性を導出し、特に添字の反転および次数の偶奇性に起因する性質を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般テンソルが中心対称成分と反中心対称成分に分解可能となる条件は何か？
• RQ2 中心対称および反中心対称テンソルのH固有値およびH固有ベクトルのスペクトル的性質は何か？
• RQ3 キャウチー・テンソルが中心対称である条件は何か？ また、そのH固有ベクトル構造にどのような対称性が現れるか？
• RQ4 中心対称テンソルの正定値性は、行列の場合と同様に特徴づけられるか？
• RQ5 反中心対称キャウチー・テンソルのH固有ベクトルの構造的およびスペクトル的性質は何か？

主な発見

• 任意の実数テンソル（次数 $ m $、次元 $ n $）は、中心対称テンソルと反中心対称テンソルの和として一意に表現可能である。
• 2つの中心対称テンソルの積は常に中心対称である。
• キャウチー・テンソルが中心対称であるための必要十分条件は、その生成ベクトル $ c $ が対称的であること、すなわちすべての $ i \in [n] $ に対して $ c_i = c_{n-i+1} $ であることである。
• 偶数次 $ m $ の中心対称キャウチー・テンソルに対しては、非ゼロのH固有値に対応する任意のH固有ベクトルは対称的である。
• 奇数次 $ m $ の中心対称キャウチー・テンソルに対しては、非ゼロのH固有値に対応する任意のH固有ベクトルの絶対値は対称的である。
• 奇数次元の反中心対称キャウチー・テンソルは存在しない。なぜなら、そのようなテンソルは $ \frac{1}{mc_i} = 0 $ を意味し、矛盾を生じるからである。