[論文レビュー] Change point analysis in non-stationary processes - a mass excess approach

Holger Dette, Weichi Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 52被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、初期平均からのずれが事前に指定された閾値 $ c $ を超過する「意味のある」変化を検出できる、非定常時系列のための新しい変動点検定を提案する。偏り補正を施した単調再配置局所線形推定量と、漸近的に有効な臨界値を構築するための新しいブートストラップ手順を用いることで、定常性の欠如する過程における意味のある構造的シフトの定量的評価が可能となり、サイズとパワーの両面で一貫性を示す。

ABSTRACT

This paper considers the problem of testing if a sequence of means $(μ_t)_{t =1,\ldots ,n }$ of a non-stationary time series $(X_t)_{t =1,\ldots ,n }$ is stable in the sense that the difference of the means $μ_1$ and $μ_t$ between the initial time $t=1$ and any other time is smaller than a given level, that is $ | μ_1 - μ_t | \leq c $ for all $t =1,\ldots ,n $. A test for hypotheses of this type is developed using a biascorrected monotone rearranged local linear estimator and asymptotic normality of the corresponding test statistic is established. As the asymptotic variance depends on the location and order of the critical roots of the equation $| μ_1 - μ_t | = c$ a new bootstrap procedure is proposed to obtain critical values and its consistency is established. As a consequence we are able to quantitatively describe relevant deviations of a non-stationary sequence from its initial value. The results are illustrated by means of a simulation study and by analyzing data examples.

研究の動機と目的

• 古典的変動点検定が帰無仮説のもとで正確な等価性を仮定するという限界に対処する。これは、経済的に無関係な小さな変化に対しても棄却を生じる可能性がある。
• 初期平均からのずれが事前に指定された閾値 $ c $ を超過するもののみを検出する検定を開発する。これにより、リスク管理や品質管理などの応用分野における実用的関連性が向上する。
• 二つの定常フェーズを仮定する従来の変動点解析を、時間とともに連続的に非定常な平均が変化する状況へと拡張する。
• 漸近的分散が未知の変動点位置に依存する状況において、臨界値推定のための一貫性のあるブートストラップ手順を提供する。
• 非定常性の程度を、偏差が閾値 $ c $ を超過する時間の長さなど、過剰質量測度を用いて定量化することで、結果の実用的解釈を可能にする。

提案手法

• 非定常過程 $ X_{t} = \mu(t) + \epsilon_{t} $ における時変動する平均 $ \mu(t) $ を一貫して推定するため、偏り補正を施した単調再配置局所線形推定量を用いる。
• 初期平均からのずれが閾値 $ c $ を超過する時間の合計を測る指標として「過剰質量」$ \boldsymbol{T}_c = \int_0^1 \mathbf{1}(\|\boldsymbol{\mu}(t) - \boldsymbol{\mu}(0)\| > c) \, dt $ を定義する。
• 核ベースのスムージング手法を用いて過剰質量を推定する：$ \hat{\boldsymbol{T}}_{N,c} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \int_{c^2}^\infty \frac{1}{h_d} K_d\left( \frac{\|\hat{\boldsymbol{\mu}}(i/N) - \hat{\boldsymbol{\mu}}(0)\|^2 - u}{h_d} \right) du $。
• サンプル勾配と誤差項を再抽出することで、複雑な分散構造を反映するための、新しいブートストラップ手順を提案する。
• 検定統計量を $ n N b_n h_d \hat{\boldsymbol{T}}_{N,c} - \Delta > q_{1-\alpha} $ として導出する。ここで $ q_{1-\alpha} $ はブートストラップ分布の $ (1-\alpha) $-分位数である。
• 誤差過程およびバンド幅の選択に関する正則性条件の下で、検定統計量の漸近的正規性を確立し、ブートストラップ手順の一貫性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常時系列の平均における「意味のある」変化（閾値 $ c $ を超過するずれ）を検定することは可能か？
• RQ2 プロセスが非定常的で、漸近的分散が未知の変動点位置に依存する状況において、意味のある変動点のための有効な検定統計量を構築する方法は何か？
• RQ3 この非独立同分布かつ非定常な設定において、臨界値推定のための一貫性のあるブートストラップ手順は何か？
• RQ4 偏差が閾値 $ c $ を超過する時間の長さといった過剰質量測度を用いて、非定常性の程度をどのように定量化できるか？
• RQ5 提案手法は、非定常誤差のもとで、多変量平均関数および滞在時間に基づく過剰測度へと拡張可能か？

主な発見

• 過剰質量測度 $ \boldsymbol{T}_c $ を用いた提案された検定統計量は、意味のある変化がない帰無仮説のもとで漸近的に正規分布に従う。
• 提示された正則性条件の下で、臨界値推定のためのブートストラップ手順は一貫しており、検定の漸近的妥当性が保証される。
• 偏り補正を施した単調再配置局所線形推定量により、非定常状況下でも時変動する平均の一致推定が可能になる。
• 本手法は、実務的に無関係な小さな変化による棄却を回避し、初期平均からの有意義なずれを適切に検出する。
• シミュレーションスタディおよび実データ例により、有限標本における良好な性能と、意味のある構造的シフトを検出するための実用的有用性が確認された。
• 多変量平均関数への拡張は理論的に支持されており、滞在時間に基づく過剰測度の一致推定量が得られているが、非定常誤差のもとでの漸近的性質については今後の研究課題である。