[論文レビュー] Characteristic foliation on non-uniruled smooth divisors on projective hyperkaehler manifolds

Amerik Ekaterina, F. Campana|arXiv (Cornell University)|May 2, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、射影的ハイパーカähler多様体 $ X $ 内の非ユニループドな滑らかな除集合 $ D $ における特徴的 foliation $ F $ が、葉が有理曲線であるか $ X $ が曲面である場合を除き、代数的であることはできないことを証明する。主な洞察は、葉の族の軌道的基底の正則線束が torsion でなければならないことであり、これは等質性（isotriviality）を意味し、$ F $ が非有理曲線をもつ代数的 foliation である場合に $ X $ と $ D $ の構造を制限することを示している。

ABSTRACT

We prove that the characteristic foliation $F$ on a non-singular divisor $D$ in an irreducible projective hyperkaehler manifold $X$ cannot be algebraic, unless the leaves of $F$ are rational curves or $X$ is a surface. More generally, we show that if $X$ is an arbitrary projective manifold carrying a holomorphic symplectic $2$-form, and $D$ and $F$ are as above, then $F$ can be algebraic with non-rational leaves only when, up to a finite \'etale cover, $X$ is the product of a symplectic projective manifold $Y$ with a symplectic surface and $D$ is the pull-back of a curve on this surface. When $D$ is of general type, the fact that $F$ cannot be algebraic unless $X$ is a surface was proved by Hwang and Viehweg. The main new ingredient for our results is the observation that the canonical bundle of the orbifold base of the family of leaves must be torsion. This implies, in particular, the isotriviality of the family of leaves of $F$.

研究の動機と目的

• 射影的ハイパーカähler多様体 $ X $ 内の滑らかな除集合 $ D $ における特徴的 foliation $ F $ がいつ代数的であるかを特定すること。
• 一般型除集合に対してホワンとヴィエフェグが得た結果を、非ユニループド除集合のより広いクラスへ拡張すること。
• $ F $ が非有理曲線をもつ代数的 foliation である場合に $ X $ と $ D $ がとる構造を特徴づけること。
• 葉の族の軌道的基底の正則線束が torsion でなければならないことを確立し、これにより等質性が導かれる。

提案手法

• 滑らかな除集合 $ D $ をもつ射影的多様体 $ X $ に holomorphic symplectic 2-形式 が存在するとき、それに誘導される特徴的 foliation $ F $ を分析すること。
• foliation $ F $ の葉の族とその軌道的基底を研究し、特にこの基底の正則線束に注目すること。
• 軌道的基底の正則線束が torsion であることを証明し、これにより葉の族が等質的（isotrivial）であることを強制すること。
• 葉の族の等質性を用いて、$ X $ と $ D $ のグローバル幾何に制約を課すこと。
• 変形理論的および双有理幾何的技法を用いて、$ F $ が非有理曲線をもつ代数的 foliation である場合の分類を実行すること。
• 一般の場合を有限エタール被覆に還元し、$ X $ が symplectic 多様体 $ Y $、symplectic 曲面、および $ D $ がその曲面上の曲線の引き戻しであるという積構造を持つべきであることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的ハイパーカähler多様体 $ X $ 内の滑らかな除集合 $ D $ における特徴的 foliation $ F $ がいつ代数的であるか？
• RQ2 $ F $ が非有理曲線をもつ代数的 foliation である場合、$ X $ と $ D $ にどのような構造的制約が生じるか？
• RQ3 葉の族の軌道的基底の正則線束が、$ F $ の幾何にどのように影響を与えるか？
• RQ4 葉の族の等質性が $ X $ のグローバル構造をどの程度制限するか？
• RQ5 代数的特徴的 foliation の分類を、一般型除集合のケースを超えて拡張可能か？

主な発見

• 射影的ハイパーカähler多様体 $ X $ 内の非ユニループドな滑らかな除集合 $ D $ における特徴的 foliation $ F $ は、葉が有理曲線であるか $ X $ が曲面である場合を除き、代数的であることはできない。
• $ F $ が非有理曲線をもつ代数的 foliation である場合、有限エタール被覆をとることで、$ X $ は symplectic な射影的多様体 $ Y $、symplectic 曲面、およびその曲面上の曲線の引き戻しとしての $ D $ の積に一致するべきである。
• 葉の族の軌道的基底の正則線束は、必然的に torsion である。これは、葉の族が等質的（isotrivial）であることを示唆する。
• この等質性は、葉のモジュライに強い制約を課し、$ X $ と $ D $ の可能な幾何的構造の分類に繋がる。
• この結果は、ホワンとヴィエフェグの一般型除集合に対する以前の結果を、非ユニループド除集合のより広いクラスへ一般化したものである。
• 軌道的基底の正則線束が torsion であることは、この文脈で代数的 foliation の分類を可能にする、鍵となる新しい要素である。