[論文レビュー] Characteristic numbers of elliptic fibrations with non-trivial Mordell-Weil groups

Mboyo Esole, Monica Jinwoo Kang|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非自明なモーデル＝ヴェイユ群を有する楕円的ファイバーの四重多様体に対して、チャーン類、ポントリャーギン類、トッド類といった特性数を計算し、自明なモーデル＝ヴェイユ群を有するカーラビ＝ヤウ四重多様体に対する先行研究を拡張している。$G$-モデルについて、$G = \mathrm{SO}(n)$（$n=3,4,5,6$）および$\mathrm{PSU}(3)$、さらに$Q_7$-モデルと$E_{9-d}$モデルについて、特徴的な解消と被約不変量を扱うために、押し出し定理を用いて明示的な公式を導出している。

ABSTRACT

We compute characteristic numbers of elliptically fibered fourfolds with multisections or non-trivial Mordell-Weil groups. We first consider the models of type E$_{9-d}$ with $d=1,2,3,4$ whose generic fibers are normal elliptic curves of degree $d$. We then analyze the characteristic numbers of the $Q_7$-model, which provides a smooth model for elliptic fibrations of rank one and generalizes the E$_5$, E$_6$, and E$_7$-models. Finally, we examine the characteristic numbers of $G$-models with $G= ext{SO}(n)$ with $n=3,4,5,6$ and $G= ext{PSU}(3)$ whose Mordell-Weil groups are respectively $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ and $\mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}$. In each case, we compute the Chern and Pontryagin numbers, the Euler characteristic, the holomorphic genera, the Todd-genus, the L-genus, the A-genus, and the eight-form curvature invariant from M-theory.

研究の動機と目的

• 非自明なモーデル＝ヴェイユ群を有する楕円的ファイバー四重多様体について、チャーン数、ポントリャーギン数、オイラー標数、トッド genus といった特性数の計算を、自明なモーデル＝ヴェイユ群の状況を超えて拡張すること。
• 非自明なモーデル＝ヴェイユ群を有する$G$-モデルについて、体系的に位相的不変量を計算すること。具体的には、$n=3,4,5,6$の$\mathrm{SO}(n)$および$\mathrm{PSU}(3)$を含み、それぞれ$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$および$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$のモーデル＝ヴェイユ群を有する。
• ランク1の楕円的ファイブレーションの滑らかな解消である$Q_7$-モデルを分析し、$E_5$、$E_6$、$E_7$モデルの一般化として扱い、その特性数を計算すること。
• $d=1,2,3,4,5$の$E_{9-d}$モデルを含め、一般化されたファイバーが次数$d$の種数1正規曲線であるモデルを扱い、その特性不変量を計算すること。
• 同一のヴァイエルシュトラスモデルの異なる解消の間で比較可能な、特徴的数がクレパント被約写像に関して保存されることを保証する、包括的な公式のセットを提供すること。

提案手法

• 滑らかな完全交差中心を持つブローアップについての新しい押し出し定理を用いて、クレパント解消の文脈における交差環の計算を簡素化する。
• 非自明なモーデル＝ヴェイユ群を有する$G$-モデルについて、ターティのアルゴリズムを用いて特異なヴァイエルシュトラスモデルを解消することで、押し出し技法を適用し、特性数を計算する。
• チャーン数、ポントリャーギン数、オイラー標数、正則次元、トッド genus、$L$-genus、$\hat{A}$-genus、8次形式の曲率不変量$X_8$について、基本類$c_1, c_2$およびラインバンドル類$L = c_1(\mathscr{L})$を用いた明示的表現を導出する。
• $Q_7$-モデルをモリソン＝パックモデルの滑らかな解消とみなして扱い、$E_5$、$E_6$、$E_7$モデルの一般化とし、同じ押し出し機構を用いてその特性数を計算する。
• $d=1,2,3,4,5$の$E_{9-d}$モデルを分析し、一般ファイバーが次数$d$の種数1正規曲線であることを考慮し、同じフレームワークを用いて特性数を計算する。
• $\mathrm{SO}(4)$-モデルにおいて、クラス$T$および$S = 4L - T$の除数上に支持される可約なコダイラ・ファイバーの存在を組み込み、不変量に明示的な補正項を含める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なモーデル＝ヴェイユ群を有する楕円的ファイブレーションについて、クレパント被約写像の下で、チャーン数やポントリャーギン数といった特性数はどのように振る舞うか？
• RQ2 $G = \mathrm{SO}(n)$および$\mathrm{PSU}(3)$の$G$-モデルについて、オイラー標数、正則次元、トッド genus、$L$-genus、$\hat{A}$-genus、および異常不変量$X_8$の明示的公式は何か？
• RQ3 $Q_7$-モデル（ランク1楕円的ファイブレーションの滑らかな解消）の特性数は、$E_5$、$E_6$、$E_7$モデルのそれらとどのように比較できるか？
• RQ4 $\mathrm{SO}(4)$-モデルにおいて、除数$T$および$S = 4L - T$上に支持される可約なコダイラ・ファイバーの存在によって、特性数にどのような補正項が生じるか？
• RQ5 $d=1,2,3,4,5$の$E_{9-d}$モデルの特性数は、基本類$c_1$、$c_2$およびラインバンドル類$L$にどのように依存するか？

主な発見

• SO(3)-モデルでは、オイラー標数が$\int_Y c_4 = 24L(-c_1^2 + 2c_2 + 15L^2)$、正則次元が$\int_Y p_2 = 48L(-c_1^2 + 2c_2 + 5L^2)$であり、$X_8 = 48L(c_1^2 - 2c_2 - 25L^2)$である。
• PSU(3)-モデルでは、正則次元が$\int_Y p_2 = 48L(-c_1^2 + 2c_2 + 3L^2)$、異常不変量が$X_8 = 48L(c_1^2 - 2c_2 - 13L^2)$である。
• SO(4)-モデルでは、除数$T$および$S = 4L - T$上に可約ファイバーが存在するため、補正項が加わる。$X_8$には$+192LT(4L - T)$、$\sigma$には$-360LT(4L - T)$の補正項が含まれる。
• SO(5)-モデルでは、ポントリャーギン数$\int_Y p_1^2 = 8L(-3c_1^2 + 6c_2 + 17L^2)$、異常不変量$X_8 = -48L(-c_1^2 + 2c_2 + 9L^2)$である。
• $Q_7$-モデルは、$E_5$、$E_6$、$E_7$モデルの特性数を一般化するものであり、$c_1$、$c_2$、$L$を用いた明示的表現を持つ。
• $d=1,2,3,4,5$の$E_{9-d}$モデルは、$c_1$、$c_2$、$L$に関する有理関数として特性数が表され、$E_5$モデル（$d=4$）は$Q_7$-モデルの特別な場合である。