[論文レビュー] Characteristic random subgroups of geometric groups and free abelian groups of infinite rank

Lewis Bowen, Rostislav Grigorchuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可算無限ランクの自由アーベル群および無限ランクの初等的 $p$-群における特徴的確率的部分群（CRS）を分類し、それらが $2^{\aleph_0}$ 個の連続的エルゴード的CRSを有することを証明する。さらに、非初等的語長距離群、双曲的曲面の写像類群、および非アーベル自由群の外部自己同型群に対しても、$2^{\aleph_0}$ 個の連続的エルゴード的不変確率的部分群（IRS）が存在することを示し、ポントリャーギン双対性および双対群上の自己同型不変測度を用いる。

ABSTRACT

We show that if $G$ is a non-elementary word hyperbolic group, mapping class group of a hyperbolic surface or the outer automorphism group of a nonabelian free group then $G$ has $2^{\aleph_0}$ many continuous ergodic invariant random subgroups. If $G$ is a nonabelian free group then $G$ has $2^{\aleph_0}$ many continuous $G$-ergodic characteristic random subgroups. We also provide a complete classification of characteristic random subgroups of free abelian groups of countably infinite rank and elementary $p$-groups of countably infinite rank.

研究の動機と目的

• 可算無限ランクの自由アーベル群および無限ランクの初等的 $p$-群における特徴的確率的部分群（CRS）を分類すること。
• 非初等的語長距離群、双曲的曲面の写像類群、および $n \geq 2$ の $\mathrm{Out}(F_n)$ において、$2^{\aleph_0}$ 個の連続的エルゴード的不変確率的部分群（IRS）が存在することを確立すること。
• ポントリャーギン双対性および双対群上の自己同型不変測度を用いて、幾何的およびアーベル群におけるCRSおよびIRSを特徴づけること。

提案手法

• アーベル群におけるCRSの分類を、その双対群における不変測度に翻訳するためにポントリャーギン双対性を適用する。特に、無限次元トーラス $\mathbb{T}^\mathbb{N}$ を対象とする。
• 弱*位相および閉部分群の空間 $\mathrm{Sub}(G)$ におけるチャバウティ位相を用いて、確率的部分群の収束性と不変性を分析する。
• $\mathcal{A} = \oplus_\mathbb{N} \mathbb{Z}$ の自由アーベル群 $\mathcal{A}$ の双対 $\hat{\mathcal{A}}$ 上の $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不変測度を、フーリエ変換および軌道分解を用いて特徴づける。
• $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不変測度が、有限ランク部分群 $\mathbb{Z}[1/r]/\mathbb{Z}$ 上の値によって決定されることを活用し、エルゴード成分への分解に至る。
• チョケット理論を用いて、任意の $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不変測度を、エルゴード的 $\nu_r$ 測度の集合上に台を持つ確率測度の重心として表現する。
• $\hat{\mathcal{A}}$ が集合 $\hat{\mathcal{A}}'_r$ の直和として分解されることを用いて、$\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不変なエルゴード的測度が、$r \in \{1,2,\dots,\infty\}$ に対する $\nu_r$ にちょうど一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算無限ランクの自由アーベル群における特徴的確率的部分群の完全な分類は何か？
• RQ2 非初等的語長距離群および関連する幾何的群には、何個の連続的エルゴード的不変確率的部分群が存在するか？
• RQ3 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不変測度の空間が、エルゴード的分解を用いて完全に記述可能か？
• RQ4 ポントリャーギン双対性は、特徴的確率的部分群の分類を、双対群上の自己同型不変測度の研究に還元するために果たす役割は何か？
• RQ5 非アーベル幾何的群、例えば $\mathrm{Out}(F_n)$ や写像類群において、非可算個の連続的エルゴード的CRSが存在するか？

主な発見

• 本稿は、自由アーベル群 $\mathcal{A} = \oplus_\mathbb{N} \mathbb{Z}$ が、$r \in \{1,2,\dots,\infty\}$ に対して $2^{\aleph_0}$ 個の連続的エルゴード的特徴的確率的部分群を有することを証明しており、これは非可算個のエルゴード的 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不変測度 $\nu_r$ に一致する。
• 任意の非初等的語長距離群、双曲的曲面の写像類群、または $n \geq 2$ の $\mathrm{Out}(F_n)$ に対して、$2^{\aleph_0}$ 個の連続的エルゴード的不変確率的部分群が存在する。
• $\hat{\mathcal{A}}$ 上の $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不変エルゴード的測度の空間は、ちょうど集合 $\{\nu_r \mid r \in \{1,2,\dots,\infty\}\}$ に一致する。ここで $\nu_r$ は $({\mathbb{Z}}[1/r]/{\mathbb{Z}})^\mathbb{N}$ 上のハール測度である。
• 任意の $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不変確率測度は、集合 $\{\nu_r\}$ 上に台を持つ確率測度の重心として表現可能であり、係数は $a_r = \nu(\hat{\mathcal{A}}'_r) \geq 0$ である。
• $\mathcal{A}$ におけるCRSの分類は、$\hat{\mathcal{A}}$ が $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不変な集合 $\hat{\mathcal{A}}'_r$ に直和分解されること、および $\nu_r$ が $\hat{\mathcal{A}}_r$ 上に台を持つこと（$r = s$ のとき $\nu_r(\hat{\mathcal{A}}'_r) = 1$、それ以外は 0）に依存する。
• 本稿は、同様の双対性および測度論的技法を用いて、無限ランクの初等的 $p$-群における特徴的確率的部分群の完全な分類を確立する。