[論文レビュー] On rigid stabilizers and invariant random subgroups of groups of homeomorphisms

Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 56被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、可算群がハウスドルフ空間に作用する場合の不変確率的部分群（IRS）に対して、一般化された二重交換子補題を確立し、エルゴディックなIRSがほとんど確実に開集合の剛性安定化部分群の導来部分群を含むことを示している。応用として、カントール最小 $Σ^d$-システムの位相的フル群のエルゴディックなIRSを分類し、第一グリゴリチキン群のすべてのIRSが共ソフィックであることを証明し、文献における疑問を解決した。

ABSTRACT

A generalization of the double commutator lemma for normal subgroups is shown for invariant random subgroups of a countable group acting faithfully on a Hausdorff space. As an application, we classify ergodic invariant random subgroups of topological full groups of Cantor minimal $\mathbb{Z}^{d}$-systems. Another corollary is that for an ergodic invariant random subgroup of a branch group, a.e. subgroup $H$ must contain derived subgroups of certain rigid stabilizers. Such results can be applied towards classification of invariant random subgroups of Grigorchuk groups.

研究の動機と目的

• 可算群がハウスドルフ空間に作用する場合の不変確率的部分群（IRS）に対して、正規部分群に対する二重交換子補題を一般化すること。
• カントール最小 $Σ^d$-システムの位相的フル群のエルゴディックなIRSを分類すること。
• 第一グリゴリチキン群のすべてのIRSが共ソフィックであることを証明し、Becker, Lubotzky, and Thom (2019) における疑問に応えること。
• 分岐群におけるIRSの構造的性質を確立し、ほとんど確実にIRSが特定の剛性安定化部分群の導来部分群を含むことを示すこと。

提案手法

• ハウスドルフ空間上の群作用に関する位相的および測度論的議論を用いて、正規部分群に対する古典的二重交換子補題をエルゴディックなIRSへ一般化する。
• 群の芽の群準同型とその対称的・交代的フル群の構造を用いて、一般化された補題をカントール最小 $Σ^d$-システムの位相的フル群に適用する。
• ブラッティリ図の技術と経路空間の漸近的解析を用いて、測度の収束とIRSの台の性質を研究する。
• 積測度の構成と弱-*極限を用いて、アーメン群におけるIRSの共ソフィック性を分析する。
• 単純なブラッティリ図において、接続の最小次数がレベルとともに増加することを活用し、数え上げ的議論における比の収束を可能にする。
• ブラッティリ図上の不変測度論の結果を適用し、$σ$-作用下での $X^{(k)}$ 上のエルゴディック測度の分類に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規部分群に対する二重交換子補題を不変確率的部分群に拡張することは可能か？
• RQ2 カントール最小 $Σ^d$-システムの位相的フル群におけるエルゴディックなIRSの構造はいかなるものか？
• RQ3 第一グリゴリチキン群のすべてのIRSは共ソフィックか？
• RQ4 分岐群のIRSが剛性安定化部分群の導来部分群を含む条件は何か？
• RQ5 $X^{(k)}$ 上の積測度は、有限部分集合の空間におけるエルゴディックな $σ$-不変測度とどのように関係するか？

主な発見

• エルゴディックなIRSに対して一般化された二重交換子補題が成り立つ：ほとんど確実に、$H$ は $X$ の空でない開集合 $U$ に対して $[R_G(U), R_G(U)]$ を含む。
• カントール最小 $Σ^d$-システムの位相的フル群において、すべてのエルゴディックなIRSは、写像 $(x_1,\dots,x_k) \mapsto \{x_1,\dots,x_k\}$ による積測度の押し出しとして得られる。
• 第一グリゴリチキン群のすべてのIRSは共ソフィックである。これはBecker, Lubotzky, and Thom (2019) における予想を確認したものである。
• 分岐群において、$R_G(U)$ が $U$ に固定点を持たない限り、ほとんど確実にIRS $H$ は $R_G(U)$ の導来部分群を含む。
• 単純なブラッティリ図で、経路空間がカントール空間である場合、$n \to \infty$ のとき、確率比 $\mathbb{P}(K \cdot g \subseteq U) / \prod_{i=1}^k \mathbb{P}(z_i \cdot g \in U)$ は 1 に収束する。
• $X^{(k)}$ 上のエルゴディックな $σ$-不変測度は、$\mu_i$ がエルゴディックであるとき、有限集合への写像による積測度 $\mu_1 \times \cdots \times \mu_k$ の押し出しとしてちょうど一致する。