[論文レビュー] Characterization of multipartite entanglement in terms of local transformations

Youming Qiao, Xiaoming Sun+1 more|UTS ePRESS (University of Technology Sydney)|Jan 12, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の固定された次数に対してすべての局所ユニタリ不変多項式（LUIPs）を構成するためのアルゴリズムを導入し、局所ユニタリ群および局所一般線形群の下での不変環の生成子の次数に対する多項式上界を証明することで、多粒子もつれ状態の完全な特徴付けを提供する。主な貢献は、多粒子もつれが加法的であることを示したことである：2つの状態がLU同値であるための必要十分条件は、あるrについてそれらのr重コピーがLU同値であることである。

ABSTRACT

The degree of the generators of invariant polynomial rings of is a long standing open problem since the very initial study of the invariant theory in the 19th century. Motivated by its significant role in characterizing multipartite entanglement, we study the invariant polynomial rings of local unitary group---the tensor product of unitary group, and local general linear group---the tensor product of general linear group. For these two groups, we prove polynomial upper bounds on the degree of the generators of invariant polynomial rings. On the other hand, systematic methods are provided to to construct all homogenous polynomials that are invariant under these two groups for any fixed degree. Thus, our results can be regarded as a complete characterization of the invariant polynomial rings. As an interesting application, we show that multipartite entanglement is additive in the sense that two multipartite states are local unitary equivalent if and only if $r$-copies of them are LU equivalent for some $r$.

研究の動機と目的

• 局所ユニタリ群および一般線形群の下での不変多項式環の生成子の次数を上限づける長年の未解決問題に取り組む。
• 任意の固定された次数のすべての斉次LUIPsを体系的に構成するための方法を提供する。
• 多粒子量子系のLUIPsの環の完全な特徴付けを確立する。
• LU同値性が加法的であることを証明する：2つの状態がLU同値であるための必要十分条件は、あるrについてそれらのr重コピーがLU同値であることである。
• 1項SLOCC同値性を介して混合状態へと枠組みを拡張し、SL不変多項式を計算する代替アルゴリズムを提供する。

提案手法

• 各粒子系に作用する局所ユニタリ群の下で不変な多項式の部分環の交わりとしてLUIPsの環を構成する。
• 各参加者について、その局所ユニタリ群の下で不変な斉次多項式の環を、有限次元部分空間の交差技術を用いて計算する。
• 特に行列の半不変量を用いて、生成子の次数に対する多項式上界を導出する現代の不変量理論の技術を採用する。
• 多変数多項式恒等式における係数比較を用いて、低次のLUIPs（例：次数2および4）を明示的な例で計算する。
• テンソル積群（局所ユニタリおよび局所一般線形）の構造を活用して、純粋状態にとどまらず一般化された結果を得る。
• SL不変多項式（SLIPs）を計算する代替アルゴリズムを導出するために、この枠組みを応用する。これはGourとWallachの2013年の研究を補完する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n粒子量子系における局所ユニタリ不変多項式（LUIPs）の環の生成子の最小次数上限は何か？
• RQ2 任意の多粒子系に対して、固定された次数のすべてのLUIPsを体系的に生成するアルゴリズムを構築可能か？
• RQ3 多粒子量子状態のLU同値性は、あるrについてそれらのr重テンソルコピーのLU同値性と同値か？
• RQ4 局所一般線形群の下での不変多項式環はどのように特徴づけられ、その次数上限は何か？
• RQ5 1項SLOCC同値性を介して、この枠組みを混合状態へと拡張可能か？また、SLIPの計算に向けた代替手法は可能か？

主な発見

• 本稿では、初めてとして、局所ユニタリ群および局所一般線形群の下での不変環の生成子の次数に対する多項式上界を確立した。
• 任意の固定された次数のすべての斉次LUIPsを、不変多項式の有限次元部分空間の交わりを用いて体系的に構成するためのアルゴリズムを提供した。
• 2量子ビットの純粋状態に対しては、LUIPsの環が次数2および次数4の不変量によって完全に生成されることを示した。例えば、密度行列のトレースやその平方が含まれる。
• 次数2のLUIPは状態ベクトルのノルムの2乗である：$ \langle\psi|\psi\rangle = \sum_{ij}|x_{ij}|^2 $、次数4のLUIPsには$ \mathrm{tr}^2(\rho_A) $および$ \mathrm{tr}^2(\rho_B) $が含まれる。
• 本稿では、多粒子もつれが加法的であることを証明した：2つの状態がLU同値であるための必要十分条件は、あるrについてそれらのr重コピーがLU同値であることである。
• この枠組みにより、純粋状態のSL不変多項式（SLIPs）を計算する代替アルゴリズムが得られ、GourとWallachの2013年の手法とは別個のものとなった。