[論文レビュー] Characterization of Non-Deterministic Quantum Query and Quantum Communication Complexity

Ronald de Wolf|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、全ブール関数を表す非決定的多項式の次数および非決定的通信行列のランクの対数と、非決定的量子クエリ複雑さと非決定的量子通信複雑さの間の線形関係を確立する。全ブール関数において、クエリ複雑さおよび通信複雑さの両設定で、指数的量子-古典的ギャップを示している。

ABSTRACT

It is known that the classical and quantum query complexities of a total Boolean function f are polynomially related to the degree of its representing polynomial, but the optimal exponents in these relations are unknown. We show that the non-deterministic quantum query complexity of f is linearly related to the degree of a “non-deterministic ” polynomial for f. We also prove a quantum-classical gap of 1 vs. n for non-deterministic query complexity for a total f. In the case of quantum communication complexity there is a (partly undetermined) relation between the complexity of f and the logarithm of the rank of its communication matrix. We show that the non-deterministic quantum communication complexity of f is linearly related to the logarithm of the rank of a non-deterministic version of the communication matrix. We also exhibit an exponential quantum-classical gap for non-deterministic communication complexity.

研究の動機と目的

• 全ブール関数を表す非決定的多項式の次数と非決定的量子クエリ複雑さの関係を特定すること。
• 非決定的量子通信複雑さと非決定的通信行列のランクの対数との関係を調査すること。
• 全関数における非決定的クエリおよび通信モデルにおける量子-古典的複雑さギャップを確立すること。
• 非決定的性質が量子複雑度理論において果たす役割を、代数的および線形代数的測度と結びつけることによって明確化すること。

提案手法

• ブール関数 f に対して、各単項式が有効な非決定的証明に対応する非決定的多項式の概念を導入する。
• 非決定的量子クエリ複雑さを、すべての有効な非決定的証明における最小量子クエリコストとして定義する。
• 非決定的量子クエリ複雑さと、関数 f を表す非決定的多項式の次数との間の線形関係を確立する。
• 入力ペアごとに複数の有効な要素を許容することで、非決定的通信行列のバージョンを構築する。
• 非決定的量子通信複雑さを、すべての有効な非決定的証明における最小量子通信コストとして定義する。
• 非決定的量子通信複雑さと、非決定的通信行列のランクの対数との間の線形関係を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全ブール関数について、非決定的量子クエリ複雑さは非決定的多項式の次数とどのように関係しているか？
• RQ2 全関数について、非決定的クエリ複雑さにおいて量子-古典的ギャップを示すことができるか？
• RQ3 非決定的量子通信複雑さと非決定的通信行列のランクとの関係は何か？
• RQ4 全関数について、非決定的通信複雑さにおいて量子と古典の間で指数的ギャップが存在するか？

主な発見

• 非決定的量子クエリ複雑さは、関数 f を表す非決定的多項式の次数と線形関係にある。
• 全ブール関数において、非決定的クエリ複雑さで 1 対 n の量子-古典的ギャップが存在する。
• 非決定的量子通信複雑さは、非決定的通信行列のランクの対数と線形関係にある。
• 全関数において、非決定的通信複雑さで指数的量子-古典的ギャップが示されている。
• 結果として、非決定的量子複雑度測度のタイトな代数的および線形代数的特徴付けが確立された。